9^sin(x)=3 (уравнение)

Найду корень уравнения: 9^sin(x)=3

Вы ввели

 sin(x)    
9       = 3

$$9^{\sin{\left(x \right)}} = 3$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$9^{\sin{\left(x \right)}} = 3$$
преобразуем
$$9^{\sin{\left(x \right)}} - 3 = 0$$
$$9^{\sin{\left(x \right)}} - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
$$9^{w} - 3 = 0$$
или
$$9^{w} - 3 = 0$$
или
$$9^{w} = 3$$
или
$$9^{w} = 3$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 9^{w}$$
получим
$$v - 3 = 0$$
или
$$v - 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 3$$
Получим ответ: v = 3
делаем обратную замену
$$9^{w} = v$$
или
$$w = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(9 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     6 

$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$

     5*pi
x2 = ----
      6  

$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$

            /    /1    pi*I \\       /    /1    pi*I \\
x3 = pi - re|asin|- + ------|| - I*im|asin|- + ------||
            \    \2   log(3)//       \    \2   log(3)//

$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)}$$

         /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\
x4 = I*im|asin|- + ------|| + re|asin|- + ------||
         \    \2   log(3)//     \    \2   log(3)//

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   5*pi          /    /1    pi*I \\       /    /1    pi*I \\       /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\
0 + -- + ---- + pi - re|asin|- + ------|| - I*im|asin|- + ------|| + I*im|asin|- + ------|| + re|asin|- + ------||
    6     6            \    \2   log(3)//       \    \2   log(3)//       \    \2   log(3)//     \    \2   log(3)//

$$\left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{5 \pi}{6}\right) - \left(- \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)}\right)$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  pi 5*pi /       /    /1    pi*I \\       /    /1    pi*I \\\ /    /    /1    pi*I \\     /    /1    pi*I \\\
1*--*----*|pi - re|asin|- + ------|| - I*im|asin|- + ------|||*|I*im|asin|- + ------|| + re|asin|- + ------|||
  6   6   \       \    \2   log(3)//       \    \2   log(3)/// \    \    \2   log(3)//     \    \2   log(3)///

$$\frac{5 \pi}{6} \cdot 1 \frac{\pi}{6} \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{i \pi}{\log{\left(3 \right)}} \right)}\right)}\right)$$

=

     2 /    /    /2*pi*I + log(3)\\     /    /2*pi*I + log(3)\\\ /          /    /2*pi*I + log(3)\\     /    /2*pi*I + log(3)\\\
-5*pi *|I*im|asin|---------------|| + re|asin|---------------|||*|-pi + I*im|asin|---------------|| + re|asin|---------------|||
       \    \    \    2*log(3)   //     \    \    2*log(3)   /// \          \    \    2*log(3)   //     \    \    2*log(3)   ///
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                               36                                                               

$$- \frac{5 \pi^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\log{\left(3 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\log{\left(3 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}\right)}\right) \left(- \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\log{\left(3 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\log{\left(3 \right)} + 2 i \pi}{2 \log{\left(3 \right)}} \right)}\right)}\right)}{36}$$

Численный ответ

x1 = -81.1578102177363

x2 = -68.5914396033772

x3 = 34.0339204138894

x4 = 40.317105721069

x5 = -100.007366139275

x6 = 69.6386371545737

x7 = -22.5147473507269

x8 = 2.61799387799149

x9 = 103.148958792865

x10 = -5.75958653158129

x11 = -66.497044500984

x12 = 31.9395253114962

x13 = 19.3731546971371

x14 = -85.3466004225227

x15 = 63.3554518473942

x16 = 78.0162175641465

x17 = -24.60914245312

x18 = 75.9218224617533

x19 = 13.0899693899575

x20 = 15.1843644923507

x21 = -3.66519142918809

x22 = -91.6297857297023

x23 = 25.6563400043166

x24 = -12.0427718387609

x25 = 8.90117918517108

x26 = 71.733032256967

x27 = 21.4675497995303

x28 = -49.7418836818384

x29 = -56.025068989018

x30 = -30.8923277602996

x31 = 96.8657734856853

x32 = -37.1755130674792

x33 = -74.8746249105567

x34 = -18.3259571459405

x35 = 38.2227106186758

x36 = 88.4881930761125

x37 = -60.2138591938044

x38 = 27.7507351067098

x39 = 107.337748997651

x40 = -97.9129710368819

x41 = 84.2994028713261

x42 = -62.3082542961976

x43 = -93.7241808320955

x44 = -16.2315620435473

x45 = -41.3643032722656

x46 = 65.4498469497874

x47 = -79.0634151153431

x48 = -35.081117965086

x49 = 94.7713783832921

x50 = 82.2050077689329

x51 = 90.5825881785057

x52 = 50.789081233035

x53 = 44.5058959258554

x54 = -43.4586983746588

x55 = 0.523598775598299

x56 = -148.178453494319

x57 = -87.4409955249159

x58 = 46.6002910282486

x59 = -47.6474885794452

x60 = 52.8834763354282

x61 = 6.80678408277789

x62 = 59.1666616426078

x63 = 57.0722665402146

x64 = -9.94837673636768

x65 = -53.9306738866248

График