19*4^x-5*2^x+2+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 19*4^x-5*2^x+2+1=0

Вы ввели

    x      x            
19*4  - 5*2  + 2 + 1 = 0

$$- 5 \cdot 2^{x} + 19 \cdot 4^{x} + 1 + 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$- 5 \cdot 2^{x} + 19 \cdot 4^{x} + 1 + 2 = 0$$
или
$$\left(- 5 \cdot 2^{x} + 19 \cdot 4^{x} + 1 + 2\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$19 v^{2} - 5 v + 3 = 0$$
или
$$19 v^{2} - 5 v + 3 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 19$$
$$b = -5$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (19) * (3) = -203

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = \frac{5}{38} + \frac{\sqrt{203} i}{38}$$
Упростить
$$v_{2} = \frac{5}{38} - \frac{\sqrt{203} i}{38}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{5}{38} - \frac{\sqrt{203} i}{38} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{5}{38} - \frac{\sqrt{203} i}{38} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{5}{38} + \frac{\sqrt{203} i}{38} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{5}{38} + \frac{\sqrt{203} i}{38} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

        /  ____\         /  _____\
        |\/ 57 |         |\/ 203 |
     log|------|   I*atan|-------|
        \  19  /         \   5   /
x1 = ----------- - ---------------
        log(2)          log(2)    

$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{57}}{19} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{5} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

        /  ____\         /  _____\
        |\/ 57 |         |\/ 203 |
     log|------|   I*atan|-------|
        \  19  /         \   5   /
x2 = ----------- + ---------------
        log(2)          log(2)    

$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{57}}{19} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{5} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

       /  ____\         /  _____\      /  ____\         /  _____\
       |\/ 57 |         |\/ 203 |      |\/ 57 |         |\/ 203 |
    log|------|   I*atan|-------|   log|------|   I*atan|-------|
       \  19  /         \   5   /      \  19  /         \   5   /
0 + ----------- - --------------- + ----------- + ---------------
       log(2)          log(2)          log(2)          log(2)    

$$\left(0 + \left(\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{57}}{19} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{5} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{57}}{19} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{5} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

     /  ____\
     |\/ 57 |
2*log|------|
     \  19  /
-------------
    log(2)   

$$\frac{2 \log{\left(\frac{\sqrt{57}}{19} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  /   /  ____\         /  _____\\ /   /  ____\         /  _____\\
  |   |\/ 57 |         |\/ 203 || |   |\/ 57 |         |\/ 203 ||
  |log|------|   I*atan|-------|| |log|------|   I*atan|-------||
  |   \  19  /         \   5   /| |   \  19  /         \   5   /|
1*|----------- - ---------------|*|----------- + ---------------|
  \   log(2)          log(2)    / \   log(2)          log(2)    /

$$1 \left(\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{57}}{19} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{5} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{57}}{19} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{203}}{5} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

     /  _____\                 /  log(130321)\      2    
    2|\/ 203 |      2       log\57           /   log (57)
atan |-------| + log (19) - ------------------ + --------
     \   5   /                      4               4    
---------------------------------------------------------
                            2                            
                         log (2)                         

$$\frac{- \frac{\log{\left(57^{\log{\left(130321 \right)}} \right)}}{4} + \operatorname{atan}^{2}{\left(\frac{\sqrt{203}}{5} \right)} + \frac{\log{\left(57 \right)}^{2}}{4} + \log{\left(19 \right)}^{2}}{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$

Численный ответ

x1 = -1.33148250636121 - 1.77926449580286*i

x2 = -1.33148250636121 + 1.77926449580286*i

График