225p^2+15p+3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 225p^2+15p+3=0

Вы ввели

     2               
225*p  + 15*p + 3 = 0

$$\left(225 p^{2} + 15 p\right) + 3 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*p^2 + b*p + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$p_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$p_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 225$$
$$b = 15$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(15)^2 - 4 * (225) * (3) = -2475

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

p1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

p2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$p_{1} = - \frac{1}{30} + \frac{\sqrt{11} i}{30}$$
Упростить
$$p_{2} = - \frac{1}{30} - \frac{\sqrt{11} i}{30}$$
Упростить

Быстрый ответ

                ____
       1    I*\/ 11 
p1 = - -- - --------
       30      30   

$$p_{1} = - \frac{1}{30} - \frac{\sqrt{11} i}{30}$$

                ____
       1    I*\/ 11 
p2 = - -- + --------
       30      30   

$$p_{2} = - \frac{1}{30} + \frac{\sqrt{11} i}{30}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           ____              ____
  1    I*\/ 11      1    I*\/ 11 
- -- - -------- + - -- + --------
  30      30        30      30   

$$\left(- \frac{1}{30} - \frac{\sqrt{11} i}{30}\right) + \left(- \frac{1}{30} + \frac{\sqrt{11} i}{30}\right)$$

=

-1/15

$$- \frac{1}{15}$$

произведение

/           ____\ /           ____\
|  1    I*\/ 11 | |  1    I*\/ 11 |
|- -- - --------|*|- -- + --------|
\  30      30   / \  30      30   /

$$\left(- \frac{1}{30} - \frac{\sqrt{11} i}{30}\right) \left(- \frac{1}{30} + \frac{\sqrt{11} i}{30}\right)$$

=

1/75

$$\frac{1}{75}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$\left(225 p^{2} + 15 p\right) + 3 = 0$$
из
$$a p^{2} + b p + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$p^{2} + \frac{b p}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$p^{2} + \frac{p}{15} + \frac{1}{75} = 0$$
$$2 p^{2} + q = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{1}{15}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{75}$$
Формулы Виета
$$p_{1} + p_{2} = - p$$
$$p_{1} p_{2} = q$$
$$p_{1} + p_{2} = - \frac{1}{15}$$
$$p_{1} p_{2} = \frac{1}{75}$$

Численный ответ

p1 = -0.0333333333333333 + 0.110554159678513*i

p2 = -0.0333333333333333 - 0.110554159678513*i