2cos(x)^(2)+3*sin(x)-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos(x)^(2)+3*sin(x)-3=0

Вы ввели

     2                      
2*cos (x) + 3*sin(x) - 3 = 0

$$3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$3 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 = 0$$
преобразуем
$$3 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)} - 3 + 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 3$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(3)^2 - 4 * (-2) * (-1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = 1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     6 

$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$

     pi
x2 = --
     2 

$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

     5*pi
x3 = ----
      6  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   5*pi
0 + -- + -- + ----
    6    2     6  

$$\left(\left(0 + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{5 \pi}{6}$$

=

3*pi
----
 2  

$$\frac{3 \pi}{2}$$

произведение

  pi pi 5*pi
1*--*--*----
  6  2   6  

$$\frac{5 \pi}{6} \frac{\pi}{2} \cdot 1 \frac{\pi}{6}$$

=

    3
5*pi 
-----
  72 

$$\frac{5 \pi^{3}}{72}$$

Численный ответ

x1 = 6.80678408277789

x2 = 32.9867230481337

x3 = -92.6769829494681

x4 = -16.2315620435473

x5 = 0.523598775598299

x6 = -10.9955739548254

x7 = 71.733032256967

x8 = -68.5914396033772

x9 = 39.2699080534577

x10 = 57.0722665402146

x11 = -73.8274274914538

x12 = 27.7507351067098

x13 = -54.9778712302784

x14 = -18.3259571459405

x15 = 90.5825881785057

x16 = 84.2994028713261

x17 = -37.1755130674792

x18 = 83.2522050326052

x19 = 15.1843644923507

x20 = -91.6297857297023

x21 = -28.7979326579064

x22 = 20.4203521563718

x23 = 13.0899693899575

x24 = -49.7418836818384

x25 = -73.8274272806479

x26 = -5.75958653158129

x27 = -47.6474885794452

x28 = -12.0427718387609

x29 = 34.0339204138894

x30 = -17.278759508473

x31 = 89.5353905764122

x32 = 31.9395253114962

x33 = -3.66519142918809

x34 = -43.4586983746588

x35 = 139.800872765188

x36 = -87.4409955249159

x37 = 38.2227106186758

x38 = -48.6946859020565

x39 = 96.8657734856853

x40 = -42.4115007405972

x41 = -48.694685953454

x42 = 19.3731546971371

x43 = -22.5147473507269

x44 = -74.8746249105567

x45 = -79.0634151153431

x46 = 59.1666616426078

x47 = 82.2050077689329

x48 = 26.7035375608868

x49 = 69.6386371545737

x50 = 76.9690200112793

x51 = -97.9129710368819

x52 = 2.61799387799149

x53 = 8.90117918517108

x54 = -85.3466004225227

x55 = -23.5619450004191

x56 = 50.789081233035

x57 = -111.526539747198

x58 = -60.2138591938044

x59 = -67.5442421566185

x60 = -4.71238891024587

x61 = -86.3937978734206

x62 = 14.1371670807075

x63 = -81.1578102177363

x64 = 94.7713783832921

x65 = -62.3082542961976

x66 = -53.9306738866248

x67 = -66.497044500984

x68 = 21.4675497995303

x69 = -56.025068989018

x70 = 52.8834763354282

x71 = 45.5530934927802

x72 = 78.0162175641465

x73 = 101.054563690472

x74 = 75.9218224617533

x75 = -93.7241808320955

x76 = -35.081117965086

x77 = 46.6002910282486

x78 = -41.3643032722656

x79 = 95.8185760456344

x80 = 40.317105721069

x81 = 65.4498469497874

x82 = 44.5058959258554

x83 = -24.60914245312

x84 = -100.007366139275

x85 = 1.57079638342343

x86 = -29.8451300991955

x87 = -61.2610565227993

x88 = 88.4881930761125

x89 = 51.8362788893194

x90 = -36.128315425571

x91 = -80.1106125842073

x92 = 58.1194642838711

x93 = -9.94837673636768

x94 = 7.85398173225698

x95 = 70.6858346623125

x96 = 25.6563400043166

x97 = 63.3554518473942

x98 = -30.8923277602996

x99 = -72.7802298081635

x100 = 64.4026493137203

График