2sin^2(x)-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2sin^2(x)-1=0

Вы ввели

     2           
2*sin (x) - 1 = 0

$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
преобразуем
$$- \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (2) * (-1) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      4  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

     pi
x2 = --
     4 

$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

     3*pi
x3 = ----
      4  

$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$

     5*pi
x4 = ----
      4  

$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   3*pi   5*pi
0 - -- + -- + ---- + ----
    4    4     4      4  

$$\left(\left(\left(- \frac{\pi}{4} + 0\right) + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{3 \pi}{4}\right) + \frac{5 \pi}{4}$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  -pi  pi 3*pi 5*pi
1*----*--*----*----
   4   4   4    4  

$$\frac{5 \pi}{4} \frac{3 \pi}{4} \frac{\pi}{4} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{4}\right)$$

=

      4
-15*pi 
-------
  256  

$$- \frac{15 \pi^{4}}{256}$$

Численный ответ

x1 = 69.9004365423729

x2 = 96.6039740978861

x3 = -46.3384916404494

x4 = 5.49778714378214

x5 = -99.7455667514759

x6 = -84.037603483527

x7 = 60.4756585816035

x8 = 11.7809724509617

x9 = -41.6261026600648

x10 = 30.6305283725005

x11 = 76.1836218495525

x12 = -3.92699081698724

x13 = -47.9092879672443

x14 = 68.329640215578

x15 = -40.0553063332699

x16 = -10.2101761241668

x17 = -71.4712328691678

x18 = -16.4933614313464

x19 = -33.7721210260903

x20 = -93.4623814442964

x21 = 25.9181393921158

x22 = 62.0464549083984

x23 = 74.6128255227576

x24 = -57.3340659280137

x25 = -76.1836218495525

x26 = 33.7721210260903

x27 = -77.7544181763474

x28 = -1144.32512407008

x29 = -85.6083998103219

x30 = 32.2013246992954

x31 = 84.037603483527

x32 = -5.49778714378214

x33 = -69.9004365423729

x34 = -24.3473430653209

x35 = 38.484510006475

x36 = 44.7676953136546

x37 = 88.7499924639117

x38 = 49.4800842940392

x39 = 40.0553063332699

x40 = 90.3207887907066

x41 = 99.7455667514759

x42 = -82.4668071567321

x43 = -18.0641577581413

x44 = 19.6349540849362

x45 = 55.7632696012188

x46 = -55.7632696012188

x47 = -91.8915851175014

x48 = -32.2013246992954

x49 = -13.3517687777566

x50 = -35.3429173528852

x51 = 77.7544181763474

x52 = -54.1924732744239

x53 = -27.4889357189107

x54 = 85.6083998103219

x55 = 10.2101761241668

x56 = -60.4756585816035

x57 = -25.9181393921158

x58 = 3.92699081698724

x59 = 22.776546738526

x60 = 384.059701901352

x61 = 54.1924732744239

x62 = 82.4668071567321

x63 = -63.6172512351933

x64 = 63.6172512351933

x65 = 18.0641577581413

x66 = -11.7809724509617

x67 = 2.35619449019234

x68 = -90.3207887907066

x69 = 87.1791961371168

x70 = -19.6349540849362

x71 = 98.174770424681

x72 = 47.9092879672443

x73 = 52.621676947629

x74 = -68.329640215578

x75 = 8.63937979737193

x76 = -62.0464549083984

x77 = -38.484510006475

x78 = 27.4889357189107

x79 = 24.3473430653209

x80 = -98.174770424681

x81 = -79.3252145031423

x82 = 16.4933614313464

x83 = 41.6261026600648

x84 = -49.4800842940392

x85 = 162.577419823272

x86 = 66.7588438887831

x87 = -2.35619449019234

x88 = 46.3384916404494

x89 = 91.8915851175014

График