2^(4*x-28)=16 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2^(4*x-28)=16

Вы ввели

 4*x - 28     
2         = 16

$$2^{4 x - 28} = 16$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$2^{4 x - 28} = 16$$
или
$$2^{4 x - 28} - 16 = 0$$
или
$$\frac{16^{x}}{268435456} = 16$$
или
$$16^{x} = 4294967296$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 16^{x}$$
получим
$$v - 4294967296 = 0$$
или
$$v - 4294967296 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 4294967296$$
Получим ответ: v = 4294967296
делаем обратную замену
$$16^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(16 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(4294967296 \right)}}{\log{\left(16 \right)}} = 8$$

Быстрый ответ

x1 = 8

$$x_{1} = 8$$

     log(256)    pi*I 
x2 = -------- + ------
      log(2)    log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(256 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

     log(65536)     pi*I  
x3 = ---------- - --------
      2*log(2)    2*log(2)

$$x_{3} = \frac{\log{\left(65536 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

     log(65536)     pi*I  
x4 = ---------- + --------
      2*log(2)    2*log(2)

$$x_{4} = \frac{\log{\left(65536 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    log(256)    pi*I    log(65536)     pi*I     log(65536)     pi*I  
8 + -------- + ------ + ---------- - -------- + ---------- + --------
     log(2)    log(2)    2*log(2)    2*log(2)    2*log(2)    2*log(2)

$$\left(\frac{\log{\left(65536 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) + \left(\left(\frac{\log{\left(65536 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) + \left(8 + \left(\frac{\log{\left(256 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)\right)\right)$$

=

    log(256)   log(65536)    pi*I 
8 + -------- + ---------- + ------
     log(2)      log(2)     log(2)

$$8 + \frac{\log{\left(256 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(65536 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  /log(256)    pi*I \ /log(65536)     pi*I  \ /log(65536)     pi*I  \
8*|-------- + ------|*|---------- - --------|*|---------- + --------|
  \ log(2)    log(2)/ \ 2*log(2)    2*log(2)/ \ 2*log(2)    2*log(2)/

$$8 \left(\frac{\log{\left(256 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(65536 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(65536 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

2*(pi*I + log(256))*(pi*I + log(65536))*(-pi*I + log(65536))
------------------------------------------------------------
                             3                              
                          log (2)                           

$$\frac{2 \left(\log{\left(256 \right)} + i \pi\right) \left(\log{\left(65536 \right)} - i \pi\right) \left(\log{\left(65536 \right)} + i \pi\right)}{\log{\left(2 \right)}^{3}}$$

Численный ответ

x1 = 8.0

x2 = 8.0 + 4.53236014182719*i

x3 = 8.0 - 2.2661800709136*i

x4 = 8.0 + 2.2661800709136*i

График