27^x=9^y (уравнение)

Найду корень уравнения: 27^x=9^y

Вы ввели

  x    y
27  = 9 

$$27^{x} = 9^{y}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$27^{x} = 9^{y}$$
или
$$27^{x} - 9^{y} = 0$$
или
$$27^{x} = 9^{y}$$
или
$$27^{x} = 9^{y}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 27^{x}$$
получим
$$- 9^{y} + v = 0$$
или
$$- 9^{y} + v = 0$$
делаем обратную замену
$$27^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(27 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(9^{y} \right)}}{\log{\left(27 \right)}} = \frac{\log{\left(9^{y} \right)}}{\log{\left(27 \right)}}$$

Быстрый ответ

        / re(y)\        / y\
     log\9     /   I*arg\9 /
x1 = ----------- + ---------
       3*log(3)     3*log(3)

$$x_{1} = \frac{\log{\left(9^{\operatorname{re}{\left(y\right)}} \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(9^{y} \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}}$$

        /|   ____              ____|\                                
        ||3 /  y        ___ 3 /  y ||                                
        ||\/  9     I*\/ 3 *\/  9  ||        /   ____               \
     log||------- - ---------------||        |3 /  y  /         ___\|
        \|   2             2       |/   I*arg\\/  9  *\-1 + I*\/ 3 //
x2 = -------------------------------- + -----------------------------
                  log(3)                            log(3)           

$$x_{2} = \frac{\log{\left(\left|{\frac{\sqrt[3]{9^{y}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{9^{y}}}{2}}\right| \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

        /|   ____              ____|\                                
        ||3 /  y        ___ 3 /  y ||                                
        ||\/  9     I*\/ 3 *\/  9  ||        /    ____              \
     log||------- + ---------------||        | 3 /  y  /        ___\|
        \|   2             2       |/   I*arg\-\/  9  *\1 + I*\/ 3 //
x3 = -------------------------------- + -----------------------------
                  log(3)                            log(3)           

$$x_{3} = \frac{\log{\left(\left|{\frac{\sqrt[3]{9^{y}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{9^{y}}}{2}}\right| \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(- \left(1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                             /|   ____              ____|\                                      /|   ____              ____|\                                
                             ||3 /  y        ___ 3 /  y ||                                      ||3 /  y        ___ 3 /  y ||                                
                             ||\/  9     I*\/ 3 *\/  9  ||        /   ____               \      ||\/  9     I*\/ 3 *\/  9  ||        /    ____              \
   / re(y)\        / y\   log||------- - ---------------||        |3 /  y  /         ___\|   log||------- + ---------------||        | 3 /  y  /        ___\|
log\9     /   I*arg\9 /      \|   2             2       |/   I*arg\\/  9  *\-1 + I*\/ 3 //      \|   2             2       |/   I*arg\-\/  9  *\1 + I*\/ 3 //
----------- + --------- + -------------------------------- + ----------------------------- + -------------------------------- + -----------------------------
  3*log(3)     3*log(3)                log(3)                            log(3)                           log(3)                            log(3)           

$$\left(\frac{\log{\left(\left|{\frac{\sqrt[3]{9^{y}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{9^{y}}}{2}}\right| \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(- \left(1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right) + \left(\left(\frac{\log{\left(9^{\operatorname{re}{\left(y\right)}} \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(9^{y} \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}}\right) + \left(\frac{\log{\left(\left|{\frac{\sqrt[3]{9^{y}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{9^{y}}}{2}}\right| \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)\right)$$

=

   /|   ____              ____|\      /|   ____              ____|\                                                                                          
   ||3 /  y        ___ 3 /  y ||      ||3 /  y        ___ 3 /  y ||                                                                                          
   ||\/  9     I*\/ 3 *\/  9  ||      ||\/  9     I*\/ 3 *\/  9  ||                      /   ____               \        /    ____              \            
log||------- + ---------------||   log||------- - ---------------||      / re(y)\        |3 /  y  /         ___\|        | 3 /  y  /        ___\|        / y\
   \|   2             2       |/      \|   2             2       |/   log\9     /   I*arg\\/  9  *\-1 + I*\/ 3 //   I*arg\-\/  9  *\1 + I*\/ 3 //   I*arg\9 /
-------------------------------- + -------------------------------- + ----------- + ----------------------------- + ----------------------------- + ---------
             log(3)                             log(3)                  3*log(3)                log(3)                          log(3)               3*log(3)

$$\frac{\log{\left(9^{\operatorname{re}{\left(y\right)}} \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}} + \frac{\log{\left(\left|{\frac{\sqrt[3]{9^{y}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{9^{y}}}{2}}\right| \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{\log{\left(\left|{\frac{\sqrt[3]{9^{y}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{9^{y}}}{2}}\right| \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(9^{y} \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(- \left(1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

произведение

                          /   /|   ____              ____|\                                \ /   /|   ____              ____|\                                \
                          |   ||3 /  y        ___ 3 /  y ||                                | |   ||3 /  y        ___ 3 /  y ||                                |
                          |   ||\/  9     I*\/ 3 *\/  9  ||        /   ____               \| |   ||\/  9     I*\/ 3 *\/  9  ||        /    ____              \|
/   / re(y)\        / y\\ |log||------- - ---------------||        |3 /  y  /         ___\|| |log||------- + ---------------||        | 3 /  y  /        ___\||
|log\9     /   I*arg\9 /| |   \|   2             2       |/   I*arg\\/  9  *\-1 + I*\/ 3 //| |   \|   2             2       |/   I*arg\-\/  9  *\1 + I*\/ 3 //|
|----------- + ---------|*|-------------------------------- + -----------------------------|*|-------------------------------- + -----------------------------|
\  3*log(3)     3*log(3)/ \             log(3)                            log(3)           / \             log(3)                            log(3)           /

$$\left(\frac{\log{\left(9^{\operatorname{re}{\left(y\right)}} \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(9^{y} \right)}}{3 \log{\left(3 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\left|{\frac{\sqrt[3]{9^{y}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{9^{y}}}{2}}\right| \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\left|{\frac{\sqrt[3]{9^{y}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i \sqrt[3]{9^{y}}}{2}}\right| \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{i \arg{\left(- \left(1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$

=

                          /     /   ____               \      /|   ____|\\ /     /    ____              \      /|   ____|\\
/     / y\      / re(y)\\ |     |3 /  y  /         ___\|      ||3 /  y ||| |     | 3 /  y  /        ___\|      ||3 /  y |||
\I*arg\9 / + log\9     //*\I*arg\\/  9  *\-1 + I*\/ 3 // + log\|\/  9  |//*\I*arg\-\/  9  *\1 + I*\/ 3 // + log\|\/  9  |//
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              3                                                            
                                                         3*log (3)                                                         

$$\frac{\left(\log{\left(9^{\operatorname{re}{\left(y\right)}} \right)} + i \arg{\left(9^{y} \right)}\right) \left(\log{\left(\left|{\sqrt[3]{9^{y}}}\right| \right)} + i \arg{\left(\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}\right) \left(\log{\left(\left|{\sqrt[3]{9^{y}}}\right| \right)} + i \arg{\left(- \left(1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{9^{y}} \right)}\right)}{3 \log{\left(3 \right)}^{3}}$$