cos(2x)-sin(x)=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(2x)-sin(x)=0

Вы ввели

cos(2*x) - sin(x) = 0

$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
преобразуем
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (-2) * (1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = -1$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      2  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$

     pi
x2 = --
     6 

$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$

     5*pi
x3 = ----
      6  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   5*pi
0 - -- + -- + ----
    2    6     6  

$$\left(\left(- \frac{\pi}{2} + 0\right) + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{5 \pi}{6}$$

=

pi
--
2 

$$\frac{\pi}{2}$$

произведение

  -pi  pi 5*pi
1*----*--*----
   2   6   6  

$$\frac{5 \pi}{6} \frac{\pi}{6} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{2}\right)$$

=

     3
-5*pi 
------
  72  

$$- \frac{5 \pi^{3}}{72}$$

Численный ответ

x1 = -32.98672341235

x2 = -70.6858344924983

x3 = 10.9955740992967

x4 = 23.5619451122289

x5 = -16.2315620435473

x6 = 0.523598775598299

x7 = 54.9778712411975

x8 = 71.733032256967

x9 = -68.5914396033772

x10 = 98.9601683847854

x11 = 92.6769826185806

x12 = 27.7507351067098

x13 = -18.3259571459405

x14 = 90.5825881785057

x15 = 84.2994028713261

x16 = -95.8185760435073

x17 = -91.6297857297023

x18 = 42.4115007297604

x19 = 86.393797888715

x20 = -49.7418836818384

x21 = -5.75958653158129

x22 = -47.6474885794452

x23 = -12.0427718387609

x24 = 34.0339204138894

x25 = -1.57079642893127

x26 = -7.85398149924071

x27 = -45.5530935873709

x28 = 31.9395253114962

x29 = -32.9867230405965

x30 = -3.66519142918809

x31 = -43.4586983746588

x32 = -58.1194639999037

x33 = -87.4409955249159

x34 = 38.2227106186758

x35 = -95.8185758681551

x36 = 96.8657734856853

x37 = 19.3731546971371

x38 = -22.5147473507269

x39 = 80.1106131458253

x40 = -89.5353907455655

x41 = -79.0634151153431

x42 = 48.6946859325274

x43 = -39.2699083757319

x44 = 82.2050077689329

x45 = 73.8274274783337

x46 = 69.6386371545737

x47 = -20.4203520418601

x48 = -26.7035373476123

x49 = -97.9129710368819

x50 = 2.61799387799149

x51 = 8.90117918517108

x52 = -85.3466004225227

x53 = 36.1283159916529

x54 = -60.2138591938044

x55 = -76.9690198122422

x56 = 94.7713783832921

x57 = -62.3082542961976

x58 = -53.9306738866248

x59 = -66.497044500984

x60 = -83.2522055292846

x61 = -56.025068989018

x62 = 52.8834763354282

x63 = 61.2610569380464

x64 = 78.0162175641465

x65 = 75.9218224617533

x66 = -93.7241808320955

x67 = 67.5442422659503

x68 = -35.081117965086

x69 = 46.6002910282486

x70 = 4.71238877821279

x71 = -41.3643032722656

x72 = 40.317105721069

x73 = -51.8362786898924

x74 = 44.5058959258554

x75 = 17.2787597959772

x76 = -24.60914245312

x77 = -76.9690204511548

x78 = -100.007366139275

x79 = 88.4881930761125

x80 = 92.6769830871924

x81 = -14.1371668400256

x82 = -9.94837673636768

x83 = -76.9690201780717

x84 = 10.995574056153

x85 = 25.6563400043166

x86 = 63.3554518473942

x87 = 29.8451303193672

x88 = -64.4026491963026

График