cos(2x)+sin(x)=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(2x)+sin(x)=0

Вы ввели

cos(2*x) + sin(x) = 0

$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-2) * (1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = 1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

     -5*pi
x1 = -----
       6  

$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$

     -pi 
x2 = ----
      6  

$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$

     pi
x3 = --
     2 

$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    5*pi   pi   pi
0 - ---- - -- + --
     6     6    2 

$$\left(\left(- \frac{5 \pi}{6} + 0\right) - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}$$

=

-pi 
----
 2  

$$- \frac{\pi}{2}$$

произведение

  -5*pi -pi  pi
1*-----*----*--
    6    6   2 

$$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \cdot 1 \left(- \frac{5 \pi}{6}\right)$$

=

    3
5*pi 
-----
  72 

$$\frac{5 \pi^{3}}{72}$$

Численный ответ

x1 = -54.9778716096663

x2 = -71.733032256967

x3 = 45.5530936891365

x4 = -46.6002910282486

x5 = 1.57079653522944

x6 = 3.66519142918809

x7 = 74.8746249105567

x8 = -21.4675497995303

x9 = 85.3466004225227

x10 = -27.7507351067098

x11 = 18.3259571459405

x12 = -42.4115006190379

x13 = -92.6769830653709

x14 = 62.3082542961976

x15 = 58.1194644720255

x16 = -23.5619450081821

x17 = -69.6386371545737

x18 = -63.3554518473942

x19 = -34.0339204138894

x20 = 83.2522055084245

x21 = -98.9601687457423

x22 = -142.942465507123

x23 = -44.5058959258554

x24 = 47.6474885794452

x25 = 68.5914396033772

x26 = -0.523598775598299

x27 = 56.025068989018

x28 = -90.5825881785057

x29 = -25.6563400043166

x30 = 24.60914245312

x31 = -4.71238877564271

x32 = -98.9601689600088

x33 = -19.3731546971371

x34 = 629.88932728012

x35 = -54.9778719400612

x36 = 12.0427718387609

x37 = 76.9690198127977

x38 = 5.75958653158129

x39 = 20.4203521503825

x40 = 30.8923277602996

x41 = -105.243352993987

x42 = 83.2522056280779

x43 = -38.2227106186758

x44 = -65.4498469497874

x45 = 72.7802298081635

x46 = -48.6946859199052

x47 = -61.2610569525587

x48 = 51.8362788989008

x49 = 14.1371671029003

x50 = -13.0899693899575

x51 = 41.3643032722656

x52 = 39.2699083672181

x53 = 100.007366139275

x54 = -10.9955744709241

x55 = -59.1666616426078

x56 = 89.5353908426683

x57 = -67.5442421664985

x58 = -75.9218224617533

x59 = -31.9395253114962

x60 = 97.9129710368819

x61 = 49.7418836818384

x62 = -57.0722665402146

x63 = 60.2138591938044

x64 = -36.1283154198995

x65 = -80.1106125800495

x66 = 22.5147473507269

x67 = -10.9955748250458

x68 = 91.6297857297023

x69 = 95.8185760576709

x70 = -40.317105721069

x71 = -2.61799387799149

x72 = 9.94837673636768

x73 = -17.2787597988071

x74 = 93.7241808320955

x75 = 16.2315620435473

x76 = 7.85398173972726

x77 = -84.2994028713261

x78 = -82.2050077689329

x79 = 70.6858345098172

x80 = -29.8451300966669

x81 = -88.4881930761125

x82 = 64.402649309204

x83 = -86.3937977736525

x84 = 26.7035373553251

x85 = -73.8274272801063

x86 = 32.986722670018

x87 = -78.0162175641465

x88 = 53.9306738866248

x89 = 66.497044500984

График