cos²x=1/2 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos²x=1/2

Вы ввели

   2         
cos (x) = 1/2

$$\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1/2) = 2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     4 

$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$

     3*pi
x2 = ----
      4  

$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

     5*pi
x3 = ----
      4  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{4}$$

     7*pi
x4 = ----
      4  

$$x_{4} = \frac{7 \pi}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   3*pi   5*pi   7*pi
0 + -- + ---- + ---- + ----
    4     4      4      4  

$$\frac{7 \pi}{4} + \left(\left(\left(0 + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{3 \pi}{4}\right) + \frac{5 \pi}{4}\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

  pi 3*pi 5*pi 7*pi
1*--*----*----*----
  4   4    4    4  

$$\frac{7 \pi}{4} \frac{5 \pi}{4} \frac{3 \pi}{4} \cdot 1 \frac{\pi}{4}$$

=

      4
105*pi 
-------
  256  

$$\frac{105 \pi^{4}}{256}$$

Численный ответ

x1 = 384.059701901352

x2 = 68.329640215578

x3 = -41.6261026600648

x4 = 3.92699081698724

x5 = 16.4933614313464

x6 = 30.6305283725005

x7 = 11.7809724509617

x8 = -40.0553063332699

x9 = 8.63937979737193

x10 = 88.7499924639117

x11 = -35.3429173528852

x12 = 10.2101761241668

x13 = 27.4889357189107

x14 = -5.49778714378214

x15 = 32.2013246992954

x16 = -27.4889357189107

x17 = 24.3473430653209

x18 = 44.7676953136546

x19 = -38.484510006475

x20 = -62.0464549083984

x21 = -68.329640215578

x22 = 46.3384916404494

x23 = 66.7588438887831

x24 = 19.6349540849362

x25 = -69.9004365423729

x26 = -55.7632696012188

x27 = 84.037603483527

x28 = 54.1924732744239

x29 = 90.3207887907066

x30 = -79.3252145031423

x31 = 22.776546738526

x32 = 60.4756585816035

x33 = -24.3473430653209

x34 = 5.49778714378214

x35 = -63.6172512351933

x36 = 47.9092879672443

x37 = 52.621676947629

x38 = 98.174770424681

x39 = -90.3207887907066

x40 = 87.1791961371168

x41 = -47.9092879672443

x42 = 49.4800842940392

x43 = -91.8915851175014

x44 = -10.2101761241668

x45 = -54.1924732744239

x46 = 2.35619449019234

x47 = -33.7721210260903

x48 = -18.0641577581413

x49 = -60.4756585816035

x50 = 76.1836218495525

x51 = 77.7544181763474

x52 = -99.7455667514759

x53 = -77.7544181763474

x54 = 162.577419823272

x55 = -93.4623814442964

x56 = -57.3340659280137

x57 = -85.6083998103219

x58 = -3.92699081698724

x59 = -19.6349540849362

x60 = -16.4933614313464

x61 = -32.2013246992954

x62 = 91.8915851175014

x63 = 69.9004365423729

x64 = 38.484510006475

x65 = -82.4668071567321

x66 = -98.174770424681

x67 = 41.6261026600648

x68 = 14247.9080821931

x69 = 55.7632696012188

x70 = -12461.9126586273

x71 = -11.7809724509617

x72 = 62.0464549083984

x73 = 82.4668071567321

x74 = -25.9181393921158

x75 = -71.4712328691678

x76 = 18.0641577581413

x77 = 99.7455667514759

x78 = -2.35619449019234

x79 = 63.6172512351933

x80 = -76.1836218495525

x81 = -46.3384916404494

x82 = 85.6083998103219

x83 = 25.9181393921158

x84 = -84.037603483527

x85 = 33.7721210260903

x86 = -1131.75875345572

x87 = -49.4800842940392

x88 = 40.0553063332699

x89 = 96.6039740978861

x90 = -13.3517687777566

x91 = 74.6128255227576

График