cos2х+cosx=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos2х+cosx=0

Вы ввели

cos(2*x) + cos(x) = 0

$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \pi$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n$$

Быстрый ответ

     -5*pi
x1 = -----
       3  

$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}$$

x2 = -pi

$$x_{2} = - \pi$$

     -pi 
x3 = ----
      3  

$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$

     pi
x4 = --
     3 

$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$

x5 = pi

$$x_{5} = \pi$$

     5*pi
x6 = ----
      3  

$$x_{6} = \frac{5 \pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    5*pi        pi   pi        5*pi
0 - ---- - pi - -- + -- + pi + ----
     3          3    3          3  

$$\left(\left(\left(\left(\left(- \frac{5 \pi}{3} + 0\right) - \pi\right) - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3}\right) + \pi\right) + \frac{5 \pi}{3}$$

=

0

$$0$$

произведение

  -5*pi     -pi  pi    5*pi
1*-----*-pi*----*--*pi*----
    3        3   3      3  

$$\frac{5 \pi}{3} \pi \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} - \pi 1 \left(- \frac{5 \pi}{3}\right)$$

=

      6
-25*pi 
-------
   81  

$$- \frac{25 \pi^{6}}{81}$$

Численный ответ

x1 = 65.9734457528689

x2 = -40.8407047547408

x3 = -84.8230014829768

x4 = 74.3510261349584

x5 = 82.7286065445312

x6 = -55.5014702134197

x7 = 38.7463093942741

x8 = -40.8407049942712

x9 = 13.6135681655558

x10 = -53.4070752795041

x11 = -99.4837673636768

x12 = -84.8230022421807

x13 = 84.8230014287926

x14 = 26.1799387799149

x15 = -40.8407044128941

x16 = -5.23598775598299

x17 = -21.9911485864549

x18 = 3.14159267447126

x19 = -76.4454212373516

x20 = -32.4631240870945

x21 = 91.1061868861836

x22 = 91.1061868116125

x23 = 68.0678408277789

x24 = -97.3893724356252

x25 = 47.1238901206303

x26 = -30.3687289847013

x27 = 99.4837673636768

x28 = -646.120889088301

x29 = 72.2566310277195

x30 = -51.3126800086333

x31 = -3.14159287255706

x32 = 3.14159271706432

x33 = 47.1238897752019

x34 = 47.1238894268221

x35 = -26.1799387799149

x36 = -9.42477812311019

x37 = 59.6902605931502

x38 = -49.2182849062401

x39 = 55.5014702134197

x40 = -74.3510261349584

x41 = -63.8790506229925

x42 = -24.0855436775217

x43 = 80.634211442138

x44 = -72.256630877064

x45 = 91.1061863890352

x46 = 63.8790506229925

x47 = 24.0855436775217

x48 = -7.33038285837618

x49 = -13.6135681655558

x50 = 28.2743338652086

x51 = 9.42477818680547

x52 = 19.8967534727354

x53 = -78.5398161151012

x54 = 61.7846555205993

x55 = -61.7846555205993

x56 = 47.1238898268985

x57 = 17.8023583703422

x58 = -65.9734457650482

x59 = -28.2743337200245

x60 = -19.8967534727354

x61 = 53.4070753369186

x62 = -91.1061871711313

x63 = 78.5398161904624

x64 = 3.14159276530697

x65 = 107.86134777325

x66 = -59.690260457585

x67 = 21.9911485973609

x68 = 70.162235930172

x69 = -40.8407044009017

x70 = 97.389372486408

x71 = 76.4454212373516

x72 = -70.162235930172

x73 = -57.5958653158129

x74 = -15.7079632965016

x75 = -84.8230015251551

x76 = -47.1238900222279

x77 = -11.5191730631626

x78 = 32.4631240870945

x79 = -17.8023583703422

x80 = 57.5958653158129

x81 = -68.0678408277789

x82 = 91.1061869261407

x83 = 3.14159322994749

x84 = 40.8407042778045

x85 = 21.9911485851931

x86 = 34.5575190335478

x87 = -95.2949771588904

x88 = -719.424718069224

x89 = 30.3687289847013

x90 = 11.5191730631626

x91 = -93.2005820564972

x92 = 36.6519142918809

x93 = -47.1238905036874

x94 = -34.5575189638817

x95 = 15.7079634367135

График