cos(cos(x))=1/2 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(cos(x))=1/2

Вы ввели

cos(cos(x)) = 1/2

$$\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = w$$
подставляем w:

Быстрый ответ

                /    /pi\\
x1 = 2*pi - I*im|acos|--||
                \    \3 //

$$x_{1} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)}$$

                /    /5*pi\\
x2 = 2*pi - I*im|acos|----||
                \    \ 3  //

$$x_{2} = 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)}$$

         /    /pi\\     /    /pi\\
x3 = I*im|acos|--|| + re|acos|--||
         \    \3 //     \    \3 //

$$x_{3} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)}$$

         /    /5*pi\\     /    /5*pi\\
x4 = I*im|acos|----|| + re|acos|----||
         \    \ 3  //     \    \ 3  //

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               /    /pi\\              /    /5*pi\\       /    /pi\\     /    /pi\\       /    /5*pi\\     /    /5*pi\\
0 + 2*pi - I*im|acos|--|| + 2*pi - I*im|acos|----|| + I*im|acos|--|| + re|acos|--|| + I*im|acos|----|| + re|acos|----||
               \    \3 //              \    \ 3  //       \    \3 //     \    \3 //       \    \ 3  //     \    \ 3  //

$$\left(\left(\left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)}\right) + \left(0 + \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)}\right)\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)}\right)$$

=

         /    /pi\\     /    /5*pi\\
4*pi + re|acos|--|| + re|acos|----||
         \    \3 //     \    \ 3  //

$$\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)} + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)} + 4 \pi$$

произведение

  /           /    /pi\\\ /           /    /5*pi\\\ /    /    /pi\\     /    /pi\\\ /    /    /5*pi\\     /    /5*pi\\\
1*|2*pi - I*im|acos|--|||*|2*pi - I*im|acos|----|||*|I*im|acos|--|| + re|acos|--|||*|I*im|acos|----|| + re|acos|----|||
  \           \    \3 /// \           \    \ 3  /// \    \    \3 //     \    \3 /// \    \    \ 3  //     \    \ 3  ///

$$1 \cdot \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)}\right) \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)}\right)$$

=

/           /    /pi\\\ /           /    /5*pi\\\ /    /    /pi\\     /    /pi\\\ /    /    /5*pi\\     /    /5*pi\\\
|2*pi - I*im|acos|--|||*|2*pi - I*im|acos|----|||*|I*im|acos|--|| + re|acos|--|||*|I*im|acos|----|| + re|acos|----|||
\           \    \3 /// \           \    \ 3  /// \    \    \3 //     \    \3 /// \    \    \ 3  //     \    \ 3  ///

$$\left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)}\right) \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{\pi}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{5 \pi}{3} \right)}\right)}\right)$$

Численный ответ

x1 = 6.28318530717959 - 0.306042108613266*i

x2 = 6.28318530717959 - 2.33945646223288*i

x3 = 0.306042108613266*i

x4 = 2.33945646223288*i

График