cos^2(2x)=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos^2(2x)=1

Вы ввели

   2         
cos (2*x) = 1

$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} = 1$$
преобразуем
$$\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(2 x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(1 \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(-1 \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(1 \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(-1 \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        pi     
0 + 0 + -- + pi
        2      

$$\left(\left(0 + 0\right) + \frac{\pi}{2}\right) + \pi$$

=

3*pi
----
 2  

$$\frac{3 \pi}{2}$$

произведение

    pi   
1*0*--*pi
    2    

$$\pi 1 \cdot 0 \frac{\pi}{2}$$

=

0

$$0$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

     pi
x2 = --
     2 

$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

x3 = pi

$$x_{3} = \pi$$

Численный ответ

x1 = 37.6991119665793

x2 = 67.5442420634706

x3 = 92.6769832182628

x4 = 95.8185756842062

x5 = -17.2787595621355

x6 = -43.9822971747455

x7 = 94.247779609353

x8 = -58.1194645366003

x9 = -23.5619449982306

x10 = -94.247779486083

x11 = -42.4115007432387

x12 = 12.5663704969137

x13 = 87.9645943351391

x14 = -20.4203521774723

x15 = 80.1106131511482

x16 = 72.256630710694

x17 = 4.71238898608896

x18 = 26.7035375390573

x19 = -53.4070752253874

x20 = 59.690260541069

x21 = -31.4159266517141

x22 = 43.9822971692691

x23 = 36.1283154718409

x24 = 64.4026493150839

x25 = 70.6858346557926

x26 = 89.5353906153414

x27 = -58.1194640062544

x28 = 42.4115007365289

x29 = 7.85398173011892

x30 = 20.4203521581227

x31 = -6.28318518328035

x32 = 34.5575190717885

x33 = -14.1371668484631

x34 = -89.5353907315491

x35 = 45.5530935075531

x36 = 50.2654824463816

x37 = 51.8362788866811

x38 = -64.402649310466

x39 = 29.8451303084991

x40 = -81.6814090370675

x41 = -67.5442421539445

x42 = -86.3937978789102

x43 = -39.2699081045218

x44 = -73.8274272808521

x45 = -1.57079626356835

x46 = -80.1106125854791

x47 = 21.9911485851564

x48 = 56.5486676469942

x49 = -59.6902604569585

x50 = 14.1371670778185

x51 = 23.5619449483644

x52 = -65.9734457653935

x53 = 48.6946860958663

x54 = 73.8274274646672

x55 = -83.2522051669813

x56 = -95.818575868455

x57 = -29.8451301000724

x58 = -87.9645943594276

x59 = -100.530965206253

x60 = -51.8362786915081

x61 = -97.3893725907902

x62 = 15.7079633917898

x63 = 95.8185760424586

x64 = 1.57079638652515

x65 = 86.3937978937855

x66 = -9.42477807759933

x67 = -75.3982237985682

x68 = 65.9734457525462

x69 = 72.2566310277248

x70 = -97.3893723711949

x71 = -72.2566309100272

x72 = -61.2610566398387

x73 = 81.6814091152362

x74 = 0.0

x75 = -36.128315427252

x76 = 100.530964798296

x77 = -1.57079642013166

x78 = -37.6991118766796

x79 = -15.7079632962205

x80 = -21.9911485864927

x81 = -7.85398150696156

x82 = 117.809724442492

x83 = -28.2743337586152

x84 = -45.5530935761698

x85 = 78.5398162225044

x86 = 6.28318528443138

x87 = 28.2743338652921

x88 = -50.2654823342013

График