cos^2(2x)=2 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos^2(2x)=2

Вы ввели

   2         
cos (2*x) = 2

$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} = 2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} = 2$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(2 x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-2) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \sqrt{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \sqrt{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           /    /   ___\\       /    /   ___\\            /    /  ___\\     /    /   ___\\       /    /   ___\\       /    /  ___\\
         re\acos\-\/ 2 //   I*im\acos\-\/ 2 //        I*im\acos\\/ 2 //   re\acos\-\/ 2 //   I*im\acos\-\/ 2 //   I*im\acos\\/ 2 //
0 + pi - ---------------- - ------------------ + pi - ----------------- + ---------------- + ------------------ + -----------------
                2                   2                         2                  2                   2                    2        

$$\left(\left(\frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) - \left(- 2 \pi + \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right)\right) + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  /       /    /   ___\\       /    /   ___\\\ /         /    /  ___\\\ /  /    /   ___\\       /    /   ___\\\     /    /  ___\\
  |     re\acos\-\/ 2 //   I*im\acos\-\/ 2 //| |     I*im\acos\\/ 2 //| |re\acos\-\/ 2 //   I*im\acos\-\/ 2 //| I*im\acos\\/ 2 //
1*|pi - ---------------- - ------------------|*|pi - -----------------|*|---------------- + ------------------|*-----------------
  \            2                   2         / \             2        / \       2                   2         /         2        

$$\frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2} \left(\pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) 1 \left(- \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right) \left(\frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}\right)$$

=

   /           /    /  ___\\\ /    /    /   ___\\     /    /   ___\\\ /            /    /   ___\\     /    /   ___\\\   /    /  ___\\ 
-I*\2*pi - I*im\acos\\/ 2 ///*\I*im\acos\-\/ 2 // + re\acos\-\/ 2 ///*\-2*pi + I*im\acos\-\/ 2 // + re\acos\-\/ 2 ///*im\acos\\/ 2 // 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  16                                                                  

$$- \frac{i \left(2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}\right) \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{16}$$

Быстрый ответ

            /    /   ___\\       /    /   ___\\
          re\acos\-\/ 2 //   I*im\acos\-\/ 2 //
x1 = pi - ---------------- - ------------------
                 2                   2         

$$x_{1} = - \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$

              /    /  ___\\
          I*im\acos\\/ 2 //
x2 = pi - -----------------
                  2        

$$x_{2} = \pi - \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$

       /    /   ___\\       /    /   ___\\
     re\acos\-\/ 2 //   I*im\acos\-\/ 2 //
x3 = ---------------- + ------------------
            2                   2         

$$x_{3} = \frac{\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2} + \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$

         /    /  ___\\
     I*im\acos\\/ 2 //
x4 = -----------------
             2        

$$x_{4} = \frac{i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}}{2}$$

Численный ответ

x1 = 1.5707963267949 + 0.440686793509772*i

x2 = 3.14159265358979 - 0.440686793509772*i

x3 = 1.5707963267949 - 0.440686793509772*i

x4 = 0.440686793509772*i

График