cos(x)=cos(2*x) (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(x)=cos(2*x)

Вы ввели

cos(x) = cos(2*x)

$$\cos{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$
преобразуем
$$\cos{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
$$- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-2) * (-1) = -7

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4}$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{7} i}{4} \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

     -4*pi
x2 = -----
       3  

$$x_{2} = - \frac{4 \pi}{3}$$

     -2*pi
x3 = -----
       3  

$$x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}$$

     2*pi
x4 = ----
      3  

$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$

     4*pi
x5 = ----
      3  

$$x_{5} = \frac{4 \pi}{3}$$

x6 = 2*pi

$$x_{6} = 2 \pi$$

Сумма и произведение корней

сумма

        4*pi   2*pi   2*pi   4*pi       
0 + 0 - ---- - ---- + ---- + ---- + 2*pi
         3      3      3      3         

$$\left(\left(\left(\left(- \frac{4 \pi}{3} + \left(0 + 0\right)\right) - \frac{2 \pi}{3}\right) + \frac{2 \pi}{3}\right) + \frac{4 \pi}{3}\right) + 2 \pi$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

    -4*pi -2*pi 2*pi 4*pi     
1*0*-----*-----*----*----*2*pi
      3     3    3    3       

$$2 \pi \frac{4 \pi}{3} \frac{2 \pi}{3} - \frac{2 \pi}{3} 1 \cdot 0 \left(- \frac{4 \pi}{3}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = -50.2654822985064

x2 = 69.1150383780256

x3 = -62.8318529623378

x4 = -18.8495555012277

x5 = 43.9822969706241

x6 = 94.2477796093525

x7 = 83.7758040957278

x8 = 33.5103216382911

x9 = 69.1150383295746

x10 = -12.5663703884691

x11 = 25.1327412731354

x12 = 12.5663704551863

x13 = -96.342174710087

x14 = -33.5103216382911

x15 = -85.870199198121

x16 = 48.1710873550435

x17 = -90.0589894029074

x18 = 39.7935069454707

x19 = 18.8495557025416

x20 = 69.1150384283402

x21 = 62.8318528532238

x22 = -56.5486675394273

x23 = -71.2094334813686

x24 = -52.3598775598299

x25 = 10.471975511966

x26 = 2.0943951023932

x27 = 77.4926187885482

x28 = 35.6047167406843

x29 = -69.1150385967809

x30 = -79.5870138909414

x31 = 54.4542726622231

x32 = -75.3982238575994

x33 = 56.5486676119735

x34 = -48.1710873550435

x35 = -81.6814090379303

x36 = -18.8495558006412

x37 = -43.9822971745925

x38 = 50.2654824463501

x39 = 98.4365698124802

x40 = -92.1533845053006

x41 = -4.18879020478639

x42 = 100.530964769014

x43 = -98.4365698124802

x44 = -39.7935069454707

x45 = 37.6991120149696

x46 = -27.2271363311115

x47 = -10.471975511966

x48 = -18.8495558410301

x49 = 16.7551608191456

x50 = 90.0589894029074

x51 = -69.11503909537

x52 = -35.6047167406843

x53 = 69.115037832119

x54 = 96.342174710087

x55 = -31.4159267013407

x56 = -25.1327414474833

x57 = 8.37758040957278

x58 = 0.0

x59 = -8.37758040957278

x60 = -94.2477794556977

x61 = -62.8318537995483

x62 = 25.13274122338

x63 = 85.870199198121

x64 = -6.28318514161788

x65 = 60.7374579694027

x66 = -41.8879020478639

x67 = 41.8879020478639

x68 = -54.4542726622231

x69 = 25.1327417460082

x70 = 31.4159267619367

x71 = -46.0766922526503

x72 = -29.3215314335047

x73 = 52.3598775598299

x74 = -77.4926187885482

x75 = -37.6991118771132

x76 = -2.0943951023932

x77 = 4.18879020478639

x78 = 25.1327411125589

x79 = -18.8495558711096

x80 = -73.3038285837618

x81 = 6.28318528426584

x82 = -62.8318529503654

x83 = 87.9645943357073

x84 = 58.6430628670095

x85 = 75.3982239117447

x86 = 12.5663700882745

x87 = 43.9822971694142

x88 = -100.530964690899

x89 = 81.6814091712551

x90 = 92.1533845053006

x91 = 46.0766922526503

x92 = -87.9645943588266

x93 = -83.7758040957278

x94 = 14.6607657167524

x95 = 79.5870138909414

График