cos(x)^(2)+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(x)^(2)+1=0

Вы ввели

   2           
cos (x) + 1 = 0

$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = i$$
Упростить
$$w_{2} = - i$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(i \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(i \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

Быстрый ответ

     pi        /      ___\
x1 = -- - I*log\1 + \/ 2 /
     2                    

$$x_{1} = \frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

     pi        /      ___\
x2 = -- + I*log\1 + \/ 2 /
     2                    

$$x_{2} = \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

     3*pi        /      ___\
x3 = ---- - I*log\1 + \/ 2 /
      2                     

$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

     3*pi        /      ___\
x4 = ---- + I*log\1 + \/ 2 /
      2                     

$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

pi        /      ___\   pi        /      ___\   3*pi        /      ___\   3*pi        /      ___\
-- - I*log\1 + \/ 2 / + -- + I*log\1 + \/ 2 / + ---- - I*log\1 + \/ 2 / + ---- + I*log\1 + \/ 2 /
2                       2                        2                         2                     

$$\left(\left(\frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)\right)\right) + \left(\frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

/pi        /      ___\\ /pi        /      ___\\ /3*pi        /      ___\\ /3*pi        /      ___\\
|-- - I*log\1 + \/ 2 /|*|-- + I*log\1 + \/ 2 /|*|---- - I*log\1 + \/ 2 /|*|---- + I*log\1 + \/ 2 /|
\2                    / \2                    / \ 2                     / \ 2                     /

$$\left(\frac{\pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\frac{3 \pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)$$

=

                      4       2    2/      ___\
   4/      ___\   9*pi    5*pi *log \1 + \/ 2 /
log \1 + \/ 2 / + ----- + ---------------------
                    16              2          

$$\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{4} + \frac{5 \pi^{2} \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{2}}{2} + \frac{9 \pi^{4}}{16}$$

Численный ответ

x1 = 1.5707963267949 - 0.881373587019543*i

x2 = 1.5707963267949 + 0.881373587019543*i

x3 = 4.71238898038469 - 0.881373587019543*i

x4 = 4.71238898038469 + 0.881373587019543*i

График