cos(x)^2=cos(x) (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(x)^2=cos(x)

Вы ввели

   2            
cos (x) = cos(x)

$$\cos^{2}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$
преобразуем
$$\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (0) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = 0$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(1 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

     pi
x2 = --
     2 

$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

     3*pi
x3 = ----
      2  

$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$

x4 = 2*pi

$$x_{4} = 2 \pi$$

Сумма и произведение корней

сумма

        pi   3*pi       
0 + 0 + -- + ---- + 2*pi
        2     2         

$$\left(\left(\left(0 + 0\right) + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{3 \pi}{2}\right) + 2 \pi$$

=

4*pi

$$4 \pi$$

произведение

    pi 3*pi     
1*0*--*----*2*pi
    2   2       

$$2 \pi \frac{3 \pi}{2} 1 \cdot 0 \frac{\pi}{2}$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = 36.1283155162826

x2 = -76.9690200129499

x3 = 89.5353906273091

x4 = 23.5619449019235

x5 = 17.2787595947439

x6 = 70.6858347057703

x7 = -62.8318534973011

x8 = 87.9645943356049

x9 = -14.1371669411541

x10 = -32.9867228626928

x11 = -87.964594358935

x12 = 4.71238898038469

x13 = 26.7035375555132

x14 = 92.6769832808989

x15 = -83.2522053201295

x16 = 98.9601685880785

x17 = 42.4115008234622

x18 = -95.8185759344887

x19 = -1.5707963267949

x20 = -39.2699081698724

x21 = 58.1194640914112

x22 = 10.9955742875643

x23 = 37.6991120060109

x24 = 45.553093477052

x25 = 14.1371669411541

x26 = -58.1194640914112

x27 = 100.530964774136

x28 = 18.8495557729205

x29 = -25.1327413641924

x30 = -86.3937979737193

x31 = 32.9867228626928

x32 = 76.9690200129499

x33 = 86.3937979737193

x34 = -94.2477794613449

x35 = -70.6858347057703

x36 = 48.6946861306418

x37 = -7.85398163397448

x38 = -42.4115008234622

x39 = -17.2787595947439

x40 = 94.2477796093526

x41 = 83.2522053201295

x42 = -54.9778714378214

x43 = 95.8185759344887

x44 = 39.2699081698724

x45 = -75.3982238479311

x46 = -80.1106126665397

x47 = -26.7035375555132

x48 = -45.553093477052

x49 = 43.9822971693881

x50 = 31.4159266948554

x51 = -43.9822971746199

x52 = -56.5486675907774

x53 = -12.5663704469816

x54 = -89.5353906273091

x55 = 56.5486676180351

x56 = 51.8362787842316

x57 = -6.28318514935383

x58 = -100.530964736174

x59 = 0.0

x60 = 73.8274273593601

x61 = 29.845130209103

x62 = 1.5707963267949

x63 = -50.2654823051418

x64 = -98.9601685880785

x65 = -20.4203522483337

x66 = 61.261056745001

x67 = -92.6769832808989

x68 = -29.845130209103

x69 = -23.5619449019235

x70 = -48.6946861306418

x71 = 25.1327408583892

x72 = -69.115038497193

x73 = -67.5442420521806

x74 = -31.4159266930206

x75 = 50.2654824463558

x76 = 75.3982238342404

x77 = -10.9955742875643

x78 = 64.4026493985908

x79 = -4.71238898038469

x80 = 62.8318529132021

x81 = 69.1150379836781

x82 = -18.8495562409837

x83 = -73.8274273593601

x84 = -37.6991118770355

x85 = -81.6814090377756

x86 = 69.1150385134118

x87 = -51.8362787842316

x88 = 54.9778714378214

x89 = 80.1106126665397

x90 = 7.85398163397448

x91 = 25.1327418085792

x92 = -389.557489134924

x93 = 6.28318528429551

x94 = 20.4203522483337

x95 = -36.1283155162826

x96 = 81.6814091609407

x97 = 12.5663704623094

График