cos(z)^3=-8 (уравнение)

Найду корень уравнения: cos(z)^3=-8

Вы ввели

   3        
cos (z) = -8

$$\cos^{3}{\left(z \right)} = -8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\cos^{3}{\left(z \right)} = -8$$
преобразуем
$$\cos^{3}{\left(z \right)} + 8 = 0$$
$$\cos^{3}{\left(z \right)} + 8 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(z \right)}$$
Дано уравнение
$$w^{3} + 8 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{-8}$$
или
$$w = 2 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w = -2*1^1/3

Получим ответ: w = 2*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = -2$$
$$w_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$w_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left(z \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(z \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$z = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$z = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$z = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$z = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$z_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$z_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(2 \sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$z_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(2 \sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$z_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$z_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(2 \sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$z_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(2 \sqrt[3]{-1} \right)}$$

Быстрый ответ

z1 = -re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2))

$$z_{1} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\              /    /        ___\\
z2 = - re\acos\1 - I*\/ 3 // + 2*pi - I*im\acos\1 - I*\/ 3 //

$$z_{2} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\              /    /        ___\\
z3 = - re\acos\1 + I*\/ 3 // + 2*pi - I*im\acos\1 + I*\/ 3 //

$$z_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)}$$

z4 = I*im(acos(-2)) + re(acos(-2))

$$z_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\     /    /        ___\\
z5 = I*im\acos\1 - I*\/ 3 // + re\acos\1 - I*\/ 3 //

$$z_{5} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\     /    /        ___\\
z6 = I*im\acos\1 + I*\/ 3 // + re\acos\1 + I*\/ 3 //

$$z_{6} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                            /    /        ___\\              /    /        ___\\       /    /        ___\\              /    /        ___\\                                       /    /        ___\\     /    /        ___\\       /    /        ___\\     /    /        ___\\
-re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2)) + - re\acos\1 - I*\/ 3 // + 2*pi - I*im\acos\1 - I*\/ 3 // + - re\acos\1 + I*\/ 3 // + 2*pi - I*im\acos\1 + I*\/ 3 // + I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)) + I*im\acos\1 - I*\/ 3 // + re\acos\1 - I*\/ 3 // + I*im\acos\1 + I*\/ 3 // + re\acos\1 + I*\/ 3 //

$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)}\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right)\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)}\right)\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)}\right)\right)$$

=

6*pi

$$6 \pi$$

произведение

                                        /    /    /        ___\\              /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\              /    /        ___\\\                                 /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\
(-re(acos(-2)) + 2*pi - I*im(acos(-2)))*\- re\acos\1 - I*\/ 3 // + 2*pi - I*im\acos\1 - I*\/ 3 ///*\- re\acos\1 + I*\/ 3 // + 2*pi - I*im\acos\1 + I*\/ 3 ///*(I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))*\I*im\acos\1 - I*\/ 3 // + re\acos\1 - I*\/ 3 ///*\I*im\acos\1 + I*\/ 3 // + re\acos\1 + I*\/ 3 ///

$$\left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)}\right)$$

=

                                 /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\                                         /            /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /            /    /        ___\\     /    /        ___\\\
-(I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))*\I*im\acos\1 + I*\/ 3 // + re\acos\1 + I*\/ 3 ///*\I*im\acos\1 - I*\/ 3 // + re\acos\1 - I*\/ 3 ///*(-2*pi + I*im(acos(-2)) + re(acos(-2)))*\-2*pi + I*im\acos\1 + I*\/ 3 // + re\acos\1 + I*\/ 3 ///*\-2*pi + I*im\acos\1 - I*\/ 3 // + re\acos\1 - I*\/ 3 ///

$$- \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(-2 \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - \sqrt{3} i \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 + \sqrt{3} i \right)}\right)}\right)$$

Численный ответ

z1 = 3.14159265358979 + 1.31695789692482*i

z2 = 5.18684008737177 - 1.41973494618919*i

z3 = 5.18684008737177 + 1.41973494618919*i

z4 = 3.14159265358979 - 1.31695789692482*i

z5 = 1.09634521980782 + 1.41973494618919*i

z6 = 1.09634521980782 - 1.41973494618919*i

График