-x^3=-4 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: -x^3=-4
Решение
Подробное решение
Дано уравнение− x 3 = − 4 - x^{3} = -4 − x 3 = − 4 Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:x 3 3 = 4 3 \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{4} 3 x 3 = 3 4 илиx = 2 2 3 x = 2^{\frac{2}{3}} x = 2 3 2 Раскрываем скобочки в правой части ур-нияx = 2^2/3 Получим ответ: x = 2^(2/3) Остальные 2 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:z = x z = x z = x тогда ур-ние будет таким:z 3 = 4 z^{3} = 4 z 3 = 4 Любое комплексное число можно представить так:z = r e i p z = r e^{i p} z = r e i p подставляем в уравнениеr 3 e 3 i p = 4 r^{3} e^{3 i p} = 4 r 3 e 3 i p = 4 гдеr = 2 2 3 r = 2^{\frac{2}{3}} r = 2 3 2 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 3 i p = 1 e^{3 i p} = 1 e 3 i p = 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 3 p ) + cos ( 3 p ) = 1 i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1 i sin ( 3 p ) + cos ( 3 p ) = 1 значитcos ( 3 p ) = 1 \cos{\left(3 p \right)} = 1 cos ( 3 p ) = 1 иsin ( 3 p ) = 0 \sin{\left(3 p \right)} = 0 sin ( 3 p ) = 0 тогдаp = 2 π N 3 p = \frac{2 \pi N}{3} p = 3 2 π N где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z:z 1 = 2 2 3 z_{1} = 2^{\frac{2}{3}} z 1 = 2 3 2 z 2 = − 2 2 3 2 − 2 2 3 3 i 2 z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2} z 2 = − 2 2 3 2 − 2 2 3 2 3 i z 3 = − 2 2 3 2 + 2 2 3 3 i 2 z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2} z 3 = − 2 2 3 2 + 2 2 3 2 3 i делаем обратную заменуz = x z = x z = x x = z x = z x = z Тогда, окончательный ответ:x 1 = 2 2 3 x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} x 1 = 2 3 2 x 2 = − 2 2 3 2 − 2 2 3 3 i 2 x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2} x 2 = − 2 2 3 2 − 2 2 3 2 3 i x 3 = − 2 2 3 2 + 2 2 3 3 i 2 x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2} x 3 = − 2 2 3 2 + 2 2 3 2 3 i
График
-12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 -2500 2500
x 1 = 2 2 3 x_{1} = 2^{\frac{2}{3}} x 1 = 2 3 2 2/3 2/3 ___
2 I*2 *\/ 3
x2 = - ---- - ------------
2 2 x 2 = − 2 2 3 2 − 2 2 3 3 i 2 x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2} x 2 = − 2 2 3 2 − 2 2 3 2 3 i 2/3 2/3 ___
2 I*2 *\/ 3
x3 = - ---- + ------------
2 2 x 3 = − 2 2 3 2 + 2 2 3 3 i 2 x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2} x 3 = − 2 2 3 2 + 2 2 3 2 3 i
Сумма и произведение корней
[src] 2/3 2/3 ___ 2/3 2/3 ___
2/3 2 I*2 *\/ 3 2 I*2 *\/ 3
2 + - ---- - ------------ + - ---- + ------------
2 2 2 2 ( 2 2 3 + ( − 2 2 3 2 − 2 2 3 3 i 2 ) ) + ( − 2 2 3 2 + 2 2 3 3 i 2 ) \left(2^{\frac{2}{3}} + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) ( 2 3 2 + ( − 2 2 3 2 − 2 2 3 2 3 i ) ) + ( − 2 2 3 2 + 2 2 3 2 3 i ) / 2/3 2/3 ___\ / 2/3 2/3 ___\
2/3 | 2 I*2 *\/ 3 | | 2 I*2 *\/ 3 |
2 *|- ---- - ------------|*|- ---- + ------------|
\ 2 2 / \ 2 2 / 2 2 3 ( − 2 2 3 2 − 2 2 3 3 i 2 ) ( − 2 2 3 2 + 2 2 3 3 i 2 ) 2^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) 2 3 2 ( − 2 2 3 2 − 2 2 3 2 3 i ) ( − 2 2 3 2 + 2 2 3 2 3 i )
Теорема Виета
перепишем уравнение− x 3 = − 4 - x^{3} = -4 − x 3 = − 4 изa x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 как приведённое кубическое уравнениеx 3 + b x 2 a + c x a + d a = 0 x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0 x 3 + a b x 2 + a c x + a d = 0 x 3 − 4 = 0 x^{3} - 4 = 0 x 3 − 4 = 0 p x 2 + q x + v + x 3 = 0 p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0 p x 2 + q x + v + x 3 = 0 гдеp = b a p = \frac{b}{a} p = a b p = 0 p = 0 p = 0 q = c a q = \frac{c}{a} q = a c q = 0 q = 0 q = 0 v = d a v = \frac{d}{a} v = a d v = − 4 v = -4 v = − 4 Формулы Виетаx 1 + x 2 + x 3 = − p x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p x 1 + x 2 + x 3 = − p x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q x 1 x 2 x 3 = v x_{1} x_{2} x_{3} = v x 1 x 2 x 3 = v x 1 + x 2 + x 3 = 0 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0 x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0 x 1 x 2 x 3 = − 4 x_{1} x_{2} x_{3} = -4 x 1 x 2 x 3 = − 4 x1 = -0.7937005259841 - 1.3747296369986*i x3 = -0.7937005259841 + 1.3747296369986*i