-x^3=-4 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: -x^3=-4

    Решение

    Вы ввели [src]
      3     
    -x  = -4
    x3=4- x^{3} = -4
    Подробное решение
    Дано уравнение
    x3=4- x^{3} = -4
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    x33=43\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{4}
    или
    x=223x = 2^{\frac{2}{3}}
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2^2/3

    Получим ответ: x = 2^(2/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    z=xz = x
    тогда ур-ние будет таким:
    z3=4z^{3} = 4
    Любое комплексное число можно представить так:
    z=reipz = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r3e3ip=4r^{3} e^{3 i p} = 4
    где
    r=223r = 2^{\frac{2}{3}}
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e3ip=1e^{3 i p} = 1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(3p)+cos(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
    значит
    cos(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
    и
    sin(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
    тогда
    p=2πN3p = \frac{2 \pi N}{3}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    z1=223z_{1} = 2^{\frac{2}{3}}
    z2=22322233i2z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}
    z3=2232+2233i2z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}
    делаем обратную замену
    z=xz = x
    x=zx = z

    Тогда, окончательный ответ:
    x1=223x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}
    x2=22322233i2x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}
    x3=2232+2233i2x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}
    График
    -12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.0-25002500
    Быстрый ответ [src]
          2/3
    x1 = 2   
    x1=223x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}
            2/3      2/3   ___
           2      I*2   *\/ 3 
    x2 = - ---- - ------------
            2          2      
    x2=22322233i2x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}
            2/3      2/3   ___
           2      I*2   *\/ 3 
    x3 = - ---- + ------------
            2          2      
    x3=2232+2233i2x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
              2/3      2/3   ___      2/3      2/3   ___
     2/3     2      I*2   *\/ 3      2      I*2   *\/ 3 
    2    + - ---- - ------------ + - ---- + ------------
              2          2            2          2      
    (223+(22322233i2))+(2232+2233i2)\left(2^{\frac{2}{3}} + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)
    =
    0
    00
    произведение
         /   2/3      2/3   ___\ /   2/3      2/3   ___\
     2/3 |  2      I*2   *\/ 3 | |  2      I*2   *\/ 3 |
    2   *|- ---- - ------------|*|- ---- + ------------|
         \   2          2      / \   2          2      /
    223(22322233i2)(2232+2233i2)2^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)
    =
    4
    44
    Теорема Виета
    перепишем уравнение
    x3=4- x^{3} = -4
    из
    ax3+bx2+cx+d=0a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0
    как приведённое кубическое уравнение
    x3+bx2a+cxa+da=0x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0
    x34=0x^{3} - 4 = 0
    px2+qx+v+x3=0p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0
    где
    p=bap = \frac{b}{a}
    p=0p = 0
    q=caq = \frac{c}{a}
    q=0q = 0
    v=dav = \frac{d}{a}
    v=4v = -4
    Формулы Виета
    x1+x2+x3=px_{1} + x_{2} + x_{3} = - p
    x1x2+x1x3+x2x3=qx_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q
    x1x2x3=vx_{1} x_{2} x_{3} = v
    x1+x2+x3=0x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0
    x1x2+x1x3+x2x3=0x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0
    x1x2x3=4x_{1} x_{2} x_{3} = -4
    Численный ответ [src]
    x1 = -0.7937005259841 - 1.3747296369986*i
    x2 = 1.5874010519682
    x3 = -0.7937005259841 + 1.3747296369986*i
    График
    -x^3=-4 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/8/8f/d69ee2510354ab080776d9e2471fa.png