|x-2|=ax (уравнение)

Найду корень уравнения: |x-2|=ax

Вы ввели

|x - 2| = a*x

$$\left|{x - 2}\right| = a x$$

Подробное решение

Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- a x + \left(x - 2\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- a x + x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \frac{2}{a - 1}$$

2.
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$- a x - \left(x - 2\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- a x - x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = \frac{2}{a + 1}$$


Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{2}{a - 1}$$
$$x_{2} = \frac{2}{a + 1}$$

Быстрый ответ

     / -2           1         
     |------  for ------ <= -1
x1 = <-1 + a      -1 + a      
     |                        
     \ nan       otherwise    

$$x_{1} = \begin{cases} - \frac{2}{a - 1} & \text{for}\: \frac{1}{a - 1} \leq -1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$

     /  2          1      
     |-----  for ----- < 1
x2 = <1 + a      1 + a    
     |                    
     \ nan     otherwise  

$$x_{2} = \begin{cases} \frac{2}{a + 1} & \text{for}\: \frac{1}{a + 1} < 1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    // -2           1         \   //  2          1      \
    ||------  for ------ <= -1|   ||-----  for ----- < 1|
0 + |<-1 + a      -1 + a      | + |<1 + a      1 + a    |
    ||                        |   ||                    |
    \\ nan       otherwise    /   \\ nan     otherwise  /

$$\left(\begin{cases} - \frac{2}{a - 1} & \text{for}\: \frac{1}{a - 1} \leq -1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases} + 0\right) + \begin{cases} \frac{2}{a + 1} & \text{for}\: \frac{1}{a + 1} < 1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$

=

// -2           1         \   //  2          1      \
||------  for ------ <= -1|   ||-----  for ----- < 1|
|<-1 + a      -1 + a      | + |<1 + a      1 + a    |
||                        |   ||                    |
\\ nan       otherwise    /   \\ nan     otherwise  /

$$\begin{cases} - \frac{2}{a - 1} & \text{for}\: \frac{1}{a - 1} \leq -1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases} + \begin{cases} \frac{2}{a + 1} & \text{for}\: \frac{1}{a + 1} < 1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$

произведение

  // -2           1         \ //  2          1      \
  ||------  for ------ <= -1| ||-----  for ----- < 1|
1*|<-1 + a      -1 + a      |*|<1 + a      1 + a    |
  ||                        | ||                    |
  \\ nan       otherwise    / \\ nan     otherwise  /

$$1 \left(\begin{cases} - \frac{2}{a - 1} & \text{for}\: \frac{1}{a - 1} \leq -1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right) \left(\begin{cases} \frac{2}{a + 1} & \text{for}\: \frac{1}{a + 1} < 1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}\right)$$

=

/  -4            /  1             1      \
|-------  for And|------ <= -1, ----- < 1|
|      2         \-1 + a        1 + a    /
<-1 + a                                   
|                                         
|  nan               otherwise            
\                                         

$$\begin{cases} - \frac{4}{a^{2} - 1} & \text{for}\: \frac{1}{a - 1} \leq -1 \wedge \frac{1}{a + 1} < 1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$