(0.25)^х*1.5*(0.5)^х-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (0.25)^х*1.5*(0.5)^х-1=0

Вы ввели

 -x      -x        
4  *3/2*2   - 1 = 0

$$\left(-1\right) 1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x} \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(-1\right) 1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x} \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\left(-1\right) 1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{x} \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 0 = 0$$
или
$$\frac{3 \cdot 8^{- x}}{2} = 1$$
или
$$\left(\frac{1}{8}\right)^{x} = \frac{2}{3}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{8}\right)^{x}$$
получим
$$v - \frac{2}{3} = 0$$
или
$$v - \frac{2}{3} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{2}{3}$$
Получим ответ: v = 2/3
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{8}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(8 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{2}{3} \right)}}{\log{\left(\frac{1}{8} \right)}} = - \frac{1}{3} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

     -log(2) + log(3)
x1 = ----------------
         3*log(2)    

$$x_{1} = \frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}}$$

     log(3/2)    2*pi*I 
x2 = -------- - --------
     3*log(2)   3*log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}} - \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(2 \right)}}$$

     log(3/2)    2*pi*I 
x3 = -------- + --------
     3*log(2)   3*log(2)

$$x_{3} = \frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}} + \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    -log(2) + log(3)   log(3/2)    2*pi*I    log(3/2)    2*pi*I 
0 + ---------------- + -------- - -------- + -------- + --------
        3*log(2)       3*log(2)   3*log(2)   3*log(2)   3*log(2)

$$\left(\left(0 + \frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}}\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}} - \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(2 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}} + \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

-log(2) + log(3)   2*log(3/2)
---------------- + ----------
    3*log(2)        3*log(2) 

$$\frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}} + \frac{2 \log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  -log(2) + log(3) /log(3/2)    2*pi*I \ /log(3/2)    2*pi*I \
1*----------------*|-------- - --------|*|-------- + --------|
      3*log(2)     \3*log(2)   3*log(2)/ \3*log(2)   3*log(2)/

$$1 \frac{- \log{\left(2 \right)} + \log{\left(3 \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}} \left(\frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}} - \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3 \log{\left(2 \right)}} + \frac{2 i \pi}{3 \log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

                                             /       1     \
                                             |   ----------|
                                             |         3   |
                                             |   27*log (2)|
-(-2*pi*I + log(3/2))*(2*pi*I + log(3/2))*log\2/3          /

$$- \left(\log{\left(\frac{3}{2} \right)} - 2 i \pi\right) \left(\log{\left(\frac{3}{2} \right)} + 2 i \pi\right) \log{\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{27 \log{\left(2 \right)}^{3}}} \right)}$$

Численный ответ

x1 = 0.194987500240385 - 3.0215734278848*i

x2 = 0.194987500240385 + 3.0215734278848*i

x3 = 0.194987500240385

График