1/cos(z)=i (уравнение)

Найду корень уравнения: 1/cos(z)=i

Вы ввели

  1       
------ = I
cos(z)    

$$\frac{1}{\cos{\left(z \right)}} = i$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\frac{1}{\cos{\left(z \right)}} = i$$
преобразуем
$$- i + \frac{1}{\cos{\left(z \right)}} = 0$$
$$- i + \frac{1}{\cos{\left(z \right)}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(z \right)}$$
Дано уравнение:
$$- i + \frac{1}{w} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = -1

b1 = -i

a2 = 1

b2 = -w

зн. получим ур-ние
$$- \left(-1\right) w = - i$$
$$w = - i$$
Переносим слагаемые с неизвестным w
из правой части в левую:
$$i + w = i - i$$
Разделим обе части ур-ния на (i + w)/w

w = i - i / ((i + w)/w)

Получим ответ: w = -i
делаем обратную замену
$$\cos{\left(z \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(z \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$z = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$z = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$z = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$z = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$z_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$z_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$z_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$z_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$z_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- i \right)}$$
$$z_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

Быстрый ответ

     pi        /      ___\
z1 = -- + I*log\1 + \/ 2 /
     2                    

$$z_{1} = \frac{\pi}{2} + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

     3*pi        /      ___\
z2 = ---- - I*log\1 + \/ 2 /
      2                     

$$z_{2} = \frac{3 \pi}{2} - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$