1-Cos(2x)=2sin(x) (уравнение)

Найду корень уравнения: 1-Cos(2x)=2sin(x)

Вы ввели

1 - cos(2*x) = 2*sin(x)

$$1 - \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$1 - \cos{\left(2 x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)}$$
преобразуем
$$2 \left(\sin{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -2$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (2) * (0) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = 0$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

     pi
x2 = --
     2 

$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

x3 = pi

$$x_{3} = \pi$$

Сумма и произведение корней

сумма

        pi     
0 + 0 + -- + pi
        2      

$$\left(\left(0 + 0\right) + \frac{\pi}{2}\right) + \pi$$

=

3*pi
----
 2  

$$\frac{3 \pi}{2}$$

произведение

    pi   
1*0*--*pi
    2    

$$\pi 1 \cdot 0 \frac{\pi}{2}$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = -48.6946861243056

x2 = -97.3893722612836

x3 = -72.2566310325652

x4 = -67.5442421642546

x5 = -34.5575191894877

x6 = 39.2699080280542

x7 = 50.2654824574367

x8 = 39.2699086388565

x9 = 76.969019673036

x10 = 62.8318530717959

x11 = -69.1150383789755

x12 = -1564.51314148772

x13 = -73.8274272802392

x14 = 70.6858345286456

x15 = -28.2743338823081

x16 = -65.9734457253857

x17 = 87.9645943005142

x18 = 91.106186954104

x19 = -37.6991118430775

x20 = 7.85398173796495

x21 = -10.9955747331165

x22 = -21.9911485751286

x23 = 100.530964914873

x24 = 14.1371670985871

x25 = 59.6902604182061

x26 = -92.6769832292373

x27 = 26.7035373768773

x28 = -42.4115006392452

x29 = -6.28318530717959

x30 = 28.2743338823081

x31 = -62.8318530717959

x32 = -15.707963267949

x33 = 64.4026493102586

x34 = 78.5398163397448

x35 = 65.9734457253857

x36 = -94.2477796076938

x37 = 45.553093663481

x38 = 32.9867223690379

x39 = -50.2654824574367

x40 = -40.8407044966673

x41 = 89.5353908137952

x42 = -31.4159265358979

x43 = 3.14159265358979

x44 = -84.8230016469244

x45 = -78.5398163397448

x46 = -80.1106125810393

x47 = 72.2566310325652

x48 = 32.986723044911

x49 = 0.0

x50 = -17.2787597741434

x51 = 43.9822971502571

x52 = -75.398223686155

x53 = 53.4070751110265

x54 = 56.5486677646163

x55 = 21.9911485751286

x56 = 1.57079651244662

x57 = -43.9822971502571

x58 = -4.7123888305818

x59 = 95.8185760548644

x60 = 51.8362788966528

x61 = 76.9690200976964

x62 = -18.8495559215388

x63 = 12.5663706143592

x64 = 83.2522058001693

x65 = 18.8495559215388

x66 = -29.8451300972765

x67 = 6.28318530717959

x68 = 25.1327412287183

x69 = 34.5575191894877

x70 = 47.1238898038469

x71 = -25.1327412287183

x72 = -9.42477796076938

x73 = -61.2610569243204

x74 = 81.6814089933346

x75 = -54.9778709863297

x76 = 58.1194647431527

x77 = -59.6902604182061

x78 = 37.6991118430775

x79 = 9.42477796076938

x80 = -10.9955739732138

x81 = -53.4070751110265

x82 = -87.9645943005142

x83 = -36.1283154212439

x84 = -54.9778717129156

x85 = 97.3893722612836

x86 = 15.707963267949

x87 = -86.3937977915432

x88 = -4.71238903613963

x89 = -23.5619450064001

x90 = 83.2522050600807

x91 = 69.1150383789755

x92 = 20.42035215177

x93 = 94.2477796076938

x94 = -81.6814089933346

График