1-x^3=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: 1-x^3=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнение1 − x 3 = 0 1 - x^{3} = 0 1 − x 3 = 0 Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то ур-ние будет иметь один действительный корень. Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния: Получим:( 1 x + 0 ) 3 3 = 1 3 \sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{1} 3 ( 1 x + 0 ) 3 = 3 1 илиx = 1 x = 1 x = 1 Получим ответ: x = 1 Остальные 2 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:z = x z = x z = x тогда ур-ние будет таким:z 3 = 1 z^{3} = 1 z 3 = 1 Любое комплексное число можно представить так:z = r e i p z = r e^{i p} z = r e i p подставляем в уравнениеr 3 e 3 i p = 1 r^{3} e^{3 i p} = 1 r 3 e 3 i p = 1 гдеr = 1 r = 1 r = 1 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 3 i p = 1 e^{3 i p} = 1 e 3 i p = 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 3 p ) + cos ( 3 p ) = 1 i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1 i sin ( 3 p ) + cos ( 3 p ) = 1 значитcos ( 3 p ) = 1 \cos{\left(3 p \right)} = 1 cos ( 3 p ) = 1 иsin ( 3 p ) = 0 \sin{\left(3 p \right)} = 0 sin ( 3 p ) = 0 тогдаp = 2 π N 3 p = \frac{2 \pi N}{3} p = 3 2 π N где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для z Значит, решением будет для z:z 1 = 1 z_{1} = 1 z 1 = 1 z 2 = − 1 2 − 3 i 2 z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} z 2 = − 2 1 − 2 3 i z 3 = − 1 2 + 3 i 2 z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} z 3 = − 2 1 + 2 3 i делаем обратную заменуz = x z = x z = x x = z x = z x = z Тогда, окончательный ответ:x 1 = 1 x_{1} = 1 x 1 = 1 x 2 = − 1 2 − 3 i 2 x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} x 2 = − 2 1 − 2 3 i x 3 = − 1 2 + 3 i 2 x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} x 3 = − 2 1 + 2 3 i
График
-12.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 -2500 2500
___
1 I*\/ 3
x2 = - - - -------
2 2 x 2 = − 1 2 − 3 i 2 x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} x 2 = − 2 1 − 2 3 i ___
1 I*\/ 3
x3 = - - + -------
2 2 x 3 = − 1 2 + 3 i 2 x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} x 3 = − 2 1 + 2 3 i
Сумма и произведение корней
[src] ___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
0 + 1 + - - - ------- + - - + -------
2 2 2 2 ( ( 0 + 1 ) − ( 1 2 + 3 i 2 ) ) − ( 1 2 − 3 i 2 ) \left(\left(0 + 1\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) ( ( 0 + 1 ) − ( 2 1 + 2 3 i ) ) − ( 2 1 − 2 3 i ) / ___\ / ___\
| 1 I*\/ 3 | | 1 I*\/ 3 |
1*1*|- - - -------|*|- - + -------|
\ 2 2 / \ 2 2 / 1 ⋅ 1 ( − 1 2 − 3 i 2 ) ( − 1 2 + 3 i 2 ) 1 \cdot 1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) 1 ⋅ 1 ( − 2 1 − 2 3 i ) ( − 2 1 + 2 3 i )
Теорема Виета
перепишем уравнение1 − x 3 = 0 1 - x^{3} = 0 1 − x 3 = 0 изa x 3 + b x 2 + c x + d = 0 a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 как приведённое кубическое уравнениеx 3 + b x 2 a + c x a + d a = 0 x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0 x 3 + a b x 2 + a c x + a d = 0 x 3 − 1 = 0 x^{3} - 1 = 0 x 3 − 1 = 0 p x 2 + q x + v + x 3 = 0 p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0 p x 2 + q x + v + x 3 = 0 гдеp = b a p = \frac{b}{a} p = a b p = 0 p = 0 p = 0 q = c a q = \frac{c}{a} q = a c q = 0 q = 0 q = 0 v = d a v = \frac{d}{a} v = a d v = − 1 v = -1 v = − 1 Формулы Виетаx 1 + x 2 + x 3 = − p x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p x 1 + x 2 + x 3 = − p x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q x 1 x 2 x 3 = v x_{1} x_{2} x_{3} = v x 1 x 2 x 3 = v x 1 + x 2 + x 3 = 0 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0 x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 0 x 1 x 2 x 3 = − 1 x_{1} x_{2} x_{3} = -1 x 1 x 2 x 3 = − 1 x1 = -0.5 + 0.866025403784439*i x3 = -0.5 - 0.866025403784439*i