(1+x)^5=2 (уравнение)

Найду корень уравнения: (1+x)^5=2

Вы ввели

       5    
(1 + x)  = 2

$$\left(x + 1\right)^{5} = 2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(x + 1\right)^{5} = 2$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(x + 1\right)^{5}} = \sqrt[5]{2}$$
или
$$x + 1 = \sqrt[5]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

1 + x = 2^1/5

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -1 + \sqrt[5]{2}$$
Получим ответ: x = -1 + 2^(1/5)

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 1$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 2$$
где
$$r = \sqrt[5]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (5 p \right )} + \cos{\left (5 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (5 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (5 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[5]{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} - \sqrt[5]{2} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 1$$
$$x = z - 1$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1 + \sqrt[5]{2}$$
$$x_{2} = -1 - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = -1 - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = -1 - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} - \sqrt[5]{2} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = -1 - \frac{\sqrt[5]{2} \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt[5]{2}}{4} + \sqrt[5]{2} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

Быстрый ответ

x1 = 0.148698354997035

$$x_{1} = 0.148698354997035$$

x2 = -1.92931649060315 - 0.675187952399881*I

$$x_{2} = -1.92931649060315 - 0.675187952399881 i$$

x3 = -1.92931649060315 + 0.675187952399881*I

$$x_{3} = -1.92931649060315 + 0.675187952399881 i$$

x4 = -0.64503268689537 - 1.09247705577745*I

$$x_{4} = -0.64503268689537 - 1.09247705577745 i$$

x5 = -0.64503268689537 + 1.09247705577745*I

$$x_{5} = -0.64503268689537 + 1.09247705577745 i$$

Численный ответ

x1 = -0.645032686895 - 1.09247705578*i

x2 = -1.9293164906 - 0.6751879524*i

x3 = -0.645032686895 + 1.09247705578*i

x4 = 0.148698354997000

x5 = -1.9293164906 + 0.6751879524*i

График