(11-x)^3=-8 (уравнение)

Найду корень уравнения: (11-x)^3=-8

Вы ввели

        3     
(11 - x)  = -8

$$\left(11 - x\right)^{3} = -8$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(11 - x\right)^{3} = -8$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(11 - x\right)^{3}} = \sqrt[3]{-8}$$
или
$$11 - x = 2 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

11 - x = -2*1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$- x = -11 + 2 \sqrt[3]{-1}$$
Разделим обе части ур-ния на -1

x = -11 + 2*(-1)^(1/3) / (-1)

Получим ответ: x = 11 - 2*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = 11 - x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = 11 - x$$
$$x = 11 - z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 13$$
$$x_{2} = 10 + \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 10 - \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

x1 = 13

$$x_{1} = 13$$

              ___
x2 = 10 - I*\/ 3 

$$x_{2} = 10 - \sqrt{3} i$$

              ___
x3 = 10 + I*\/ 3 

$$x_{3} = 10 + \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___            ___
13 + 10 - I*\/ 3  + 10 + I*\/ 3 

$$\left(13 + \left(10 - \sqrt{3} i\right)\right) + \left(10 + \sqrt{3} i\right)$$

=

33

$$33$$

произведение

   /         ___\ /         ___\
13*\10 - I*\/ 3 /*\10 + I*\/ 3 /

$$13 \left(10 - \sqrt{3} i\right) \left(10 + \sqrt{3} i\right)$$

=

1339

$$1339$$

Численный ответ

x1 = 10.0 + 1.73205080756888*i

x2 = 13.0

x3 = 10.0 - 1.73205080756888*i

График