5*x^3=5 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5*x^3=5

Вы ввели

   3    
5*x  = 5

$$5 x^{3} = 5$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$5 x^{3} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{5} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{5}$$
или
$$\sqrt[3]{5} x = \sqrt[3]{5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*5^1/3 = 5^(1/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*5^1/3 = 5^1/3

Разделим обе части ур-ния на 5^(1/3)

x = 5^(1/3) / (5^(1/3))

Получим ответ: x = 1

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x2 = - - - -------
       2      2   

$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
x3 = - - + -------
       2      2   

$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Численный ответ

x1 = 1.00000000000000

x2 = -0.5 + 0.866025403784*i

x3 = -0.5 - 0.866025403784*i

График