64z^6+1= 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 64z^6+1= 0

Вы ввели

    6        
64*z  + 1 = 0

$$64 z^{6} + 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$64 z^{6} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{6} = - \frac{1}{64}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = - \frac{1}{64}$$
где
$$r = \frac{1}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \frac{i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \frac{i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$

Быстрый ответ

     -I 
z1 = ---
      2 

$$z_{1} = - \frac{i}{2}$$

     I
z2 = -
     2

$$z_{2} = \frac{i}{2}$$

             ___
       I   \/ 3 
z3 = - - - -----
       4     4  

$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$

         ___    
       \/ 3    I
z4 = - ----- + -
         4     4

$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$

             ___
       I   \/ 3 
z5 = - - + -----
       4     4  

$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{i}{4}$$

           ___
     I   \/ 3 
z6 = - + -----
     4     4  

$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{i}{4}$$

Численный ответ

z1 = -0.433012701892219 - 0.25*i

z2 = 0.433012701892219 - 0.25*i

z3 = -0.433012701892219 + 0.25*i

z4 = 0.5*i

z5 = -0.5*i

z6 = 0.433012701892219 + 0.25*i

График