(16/9)^x-1=(3/4)^8 (уравнение)

Найду корень уравнения: (16/9)^x-1=(3/4)^8

Вы ввели

    x          8
16/9  - 1 = 3/4 

$$\left(\frac{16}{9}\right)^{x} - 1 = \left(\frac{3}{4}\right)^{8}$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(\frac{16}{9}\right)^{x} - 1 = \left(\frac{3}{4}\right)^{8}$$
или
$$\left(\left(\frac{16}{9}\right)^{x} - 1\right) - \left(\frac{3}{4}\right)^{8} = 0$$
или
$$\left(\frac{16}{9}\right)^{x} = \frac{72097}{65536}$$
или
$$\left(\frac{16}{9}\right)^{x} = \frac{72097}{65536}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{16}{9}\right)^{x}$$
получим
$$v - \frac{72097}{65536} = 0$$
или
$$v - \frac{72097}{65536} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{72097}{65536}$$
Получим ответ: v = 72097/65536
делаем обратную замену
$$\left(\frac{16}{9}\right)^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(\frac{16}{9} \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{72097}{65536} \right)}}{\log{\left(\frac{16}{9} \right)}} = \log{\left(\left(\frac{72097}{65536}\right)^{\frac{1}{\log{\left(\frac{16}{9} \right)}}} \right)}$$

Быстрый ответ

         /           1     \
         |       ----------|
         |       2*log(4/3)|
         |/65536\          |
x1 = -log||-----|          |
         \\72097/          /

$$x_{1} = - \log{\left(\left(\frac{65536}{72097}\right)^{\frac{1}{2 \log{\left(\frac{4}{3} \right)}}} \right)}$$

        /           1    \
        |       ---------|
        |       log(16/9)|
        |/72097\         |
x2 = log||-----|         |
        \\65536/         /

$$x_{2} = \log{\left(\left(\frac{72097}{65536}\right)^{\frac{1}{\log{\left(\frac{16}{9} \right)}}} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

     /           1     \      /           1    \
     |       ----------|      |       ---------|
     |       2*log(4/3)|      |       log(16/9)|
     |/65536\          |      |/72097\         |
- log||-----|          | + log||-----|         |
     \\72097/          /      \\65536/         /

$$- \log{\left(\left(\frac{65536}{72097}\right)^{\frac{1}{2 \log{\left(\frac{4}{3} \right)}}} \right)} + \log{\left(\left(\frac{72097}{65536}\right)^{\frac{1}{\log{\left(\frac{16}{9} \right)}}} \right)}$$

=

     /           1     \      /           1    \
     |       ----------|      |       ---------|
     |       2*log(4/3)|      |       log(16/9)|
     |/65536\          |      |/72097\         |
- log||-----|          | + log||-----|         |
     \\72097/          /      \\65536/         /

$$- \log{\left(\left(\frac{65536}{72097}\right)^{\frac{1}{2 \log{\left(\frac{4}{3} \right)}}} \right)} + \log{\left(\left(\frac{72097}{65536}\right)^{\frac{1}{\log{\left(\frac{16}{9} \right)}}} \right)}$$

произведение

    /           1     \    /           1    \
    |       ----------|    |       ---------|
    |       2*log(4/3)|    |       log(16/9)|
    |/65536\          |    |/72097\         |
-log||-----|          |*log||-----|         |
    \\72097/          /    \\65536/         /

$$- \log{\left(\left(\frac{65536}{72097}\right)^{\frac{1}{2 \log{\left(\frac{4}{3} \right)}}} \right)} \log{\left(\left(\frac{72097}{65536}\right)^{\frac{1}{\log{\left(\frac{16}{9} \right)}}} \right)}$$

=

   2             /     log(4294967296)\          2   
log (72097) - log\72097               / + 256*log (2)
-----------------------------------------------------
         /   2         / log(16)\        2   \       
       4*\log (3) - log\3       / + 4*log (2)/       

$$\frac{- \log{\left(72097^{\log{\left(4294967296 \right)}} \right)} + 256 \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(72097 \right)}^{2}}{4 \left(- \log{\left(3^{\log{\left(16 \right)}} \right)} + \log{\left(3 \right)}^{2} + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}\right)}$$

Численный ответ

x1 = 0.165830327483605

График