sin²x-sinx=2 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin²x-sinx=2

Вы ввели

   2                
sin (x) - sin(x) = 2

$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 2$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} - 2 = 0$$
$$\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      2  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$

     3*pi
x2 = ----
      2  

$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

x3 = pi - re(asin(2)) - I*im(asin(2))

$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)}$$

x4 = I*im(asin(2)) + re(asin(2))

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   3*pi                                                                 
0 - -- + ---- + pi - re(asin(2)) - I*im(asin(2)) + I*im(asin(2)) + re(asin(2))
    2     2                                                                   

$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)}\right) - \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)}\right)$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  -pi  3*pi                                                                 
1*----*----*(pi - re(asin(2)) - I*im(asin(2)))*(I*im(asin(2)) + re(asin(2)))
   2    2                                                                   

$$\frac{3 \pi}{2} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{2}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)}\right)$$

=

    2                                                                  
3*pi *(I*im(asin(2)) + re(asin(2)))*(-pi + I*im(asin(2)) + re(asin(2)))
-----------------------------------------------------------------------
                                   4                                   

$$\frac{3 \pi^{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)}\right) \left(- \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(2 \right)}\right)}\right)}{4}$$

Численный ответ

x1 = -76.9690197221984

x2 = -32.9867225758835

x3 = 86.393797887839

x4 = -51.8362786896082

x5 = -102.101761883247

x6 = -64.402649255422

x7 = -70.6858349653034

x8 = -26.7035378220867

x9 = 17.2787593220659

x10 = 73.8274274807538

x11 = 48.6946859158554

x12 = -26.7035372612266

x13 = 92.6769832132472

x14 = 23.5619451331326

x15 = -14.1371668385321

x16 = 17.2787598912651

x17 = -7.85398149791991

x18 = 48.6946862428019

x19 = 61.2610570434674

x20 = -45.5530935892791

x21 = 67.5442422891227

x22 = 36.1283156889147

x23 = 193.207948237308

x24 = 67.5442420465931

x25 = 42.4115007285955

x26 = -70.6858344139979

x27 = -58.1194639987802

x28 = 1858.252054715

x29 = -64.4026491794358

x30 = 10.9955739984145

x31 = -89.5353911652882

x32 = 10.9955745697675

x33 = -89.5353907479368

x34 = -83.2522055525629

x35 = 98.9601688588295

x36 = -1.57079643043874

x37 = 42.4115014315384

x38 = -32.9867231539387

x39 = 92.6769830723585

x40 = -95.8185758681024

x41 = -7824.136503369

x42 = 48.6946861099035

x43 = 4.71238900072427

x44 = 23.5619449395086

x45 = -39.2699083966096

x46 = 80.1106131412134

x47 = 54.9778717146949

x48 = 61.2610564670687

x49 = -20.4203520230544

x50 = 98.9601683040195

x51 = 73.8274268696112

x52 = 54.9778711510713

x53 = 4.7123887595313

x54 = -20.4203521614409

x55 = 29.8451303212917

x56 = -76.969020305975

x57 = -83.2522052322402

x58 = -39.2699081135452

График