sin²x=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin²x=1

Вы ввели

   2       
sin (x) = 1

$$\sin^{2}{\left(x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = 1$$
преобразуем
$$- \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(1 \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(-1 \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      2  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$

     pi
x2 = --
     2 

$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

     3*pi
x3 = ----
      2  

$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

  pi   pi   3*pi
- -- + -- + ----
  2    2     2  

$$\left(- \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{3 \pi}{2}$$

=

3*pi
----
 2  

$$\frac{3 \pi}{2}$$

произведение

-pi  pi 3*pi
----*--*----
 2   2   2  

$$\frac{3 \pi}{2} \cdot - \frac{\pi}{2} \frac{\pi}{2}$$

=

     3
-3*pi 
------
  8   

$$- \frac{3 \pi^{3}}{8}$$

Численный ответ

x1 = 86.393797888273

x2 = -17.2787590276524

x3 = -70.685834448838

x4 = -17.2787598091171

x5 = 23.5619451230057

x6 = 20.4203521497111

x7 = -48.6946858738636

x8 = -32.9867227513827

x9 = 1.5707965454425

x10 = -54.9778716831146

x11 = -54.9778713137198

x12 = 541.924732890135

x13 = 54.9778711883962

x14 = -76.9690202568697

x15 = 89.5353908552844

x16 = -4.71238872430683

x17 = -92.6769831823972

x18 = -45.5530935883361

x19 = -4.7123889912442

x20 = 39.2699081179815

x21 = 26.7035373461441

x22 = 76.9690200400775

x23 = 83.2522052340866

x24 = -14.1371668392726

x25 = 29.845130320338

x26 = -98.96016883042

x27 = 58.1194644379895

x28 = 67.5442422779275

x29 = -86.393797765473

x30 = 42.4115007291722

x31 = -10.9955741902138

x32 = -1.57079642969308

x33 = -26.7035375427973

x34 = -98.9601684414698

x35 = 76.9690197631883

x36 = 61.2610569989704

x37 = -26.7035372990183

x38 = 73.8274274795554

x39 = -92.6769830239371

x40 = 7.85398174058521

x41 = 17.2787598502655

x42 = 14.1371671048484

x43 = -61.2610569641117

x44 = 23.5619449395428

x45 = 70.6858345016621

x46 = 92.6769830795146

x47 = -36.1283154192437

x48 = -20.4203520321877

x49 = -76.9690198771149

x50 = -67.5442421675773

x51 = 32.9867226137576

x52 = 10.9955743696636

x53 = -61.2610562242523

x54 = -80.1106125795659

x55 = -32.9867231091652

x56 = -73.8274272800405

x57 = -39.2699083866483

x58 = 76.9690207492347

x59 = -29.8451300963672

x60 = 80.1106126771746

x61 = -10.9955745350309

x62 = -51.8362786897497

x63 = -23.5619450090417

x64 = -64.4026491876462

x65 = -89.5353907467661

x66 = -42.4115006098842

x67 = 51.8362788999928

x68 = 80.1106131434937

x69 = -48.6946860920117

x70 = 39.2699084246933

x71 = 45.553093700501

x72 = -83.2522055415057

x73 = -70.6858346386357

x74 = 17.2787595624179

x75 = 36.1283156002139

x76 = 98.9601685932308

x77 = 10.9955740392793

x78 = 32.986722928111

x79 = 4.71238876848081

x80 = 64.4026493086922

x81 = 48.6946859238715

x82 = 95.8185760590309

x83 = -95.8185758681287

x84 = -98.960168684456

x85 = -7.85398149857354

x86 = 98.9601683381274

x87 = 61.2610566752601

x88 = 83.2522055730903

x89 = -58.1194639993376

x90 = -39.2699081528781

x91 = 54.9778714849733

График