sin2(x)=1/5 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin2(x)=1/5

Вы ввели

   2         
sin (x) = 1/5

$$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{5}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{5}$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{5} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{5} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - \frac{1}{5}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1/5) = 4/5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \pi$$

Быстрый ответ

              /  ___\
              |\/ 5 |
x1 = pi - asin|-----|
              \  5  /

$$x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$

              /  ___\
              |\/ 5 |
x2 = pi + asin|-----|
              \  5  /

$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \pi$$

          /  ___\
          |\/ 5 |
x3 = -asin|-----|
          \  5  /

$$x_{3} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$

         /  ___\
         |\/ 5 |
x4 = asin|-----|
         \  5  /

$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

             /  ___\            /  ___\       /  ___\       /  ___\
             |\/ 5 |            |\/ 5 |       |\/ 5 |       |\/ 5 |
0 + pi - asin|-----| + pi + asin|-----| - asin|-----| + asin|-----|
             \  5  /            \  5  /       \  5  /       \  5  /

$$\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \left(- \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \left(\left(0 + \left(\pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}\right)\right) + \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \pi\right)\right)\right)$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  /         /  ___\\ /         /  ___\\      /  ___\     /  ___\
  |         |\/ 5 || |         |\/ 5 ||      |\/ 5 |     |\/ 5 |
1*|pi - asin|-----||*|pi + asin|-----||*-asin|-----|*asin|-----|
  \         \  5  // \         \  5  //      \  5  /     \  5  /

$$1 \left(\pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}\right) \left(\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)} + \pi\right) \left(- \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}\right) \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$

=

     /  ___\ /     /  ___\      \
    2|\/ 5 | |    2|\/ 5 |     2|
asin |-----|*|asin |-----| - pi |
     \  5  / \     \  5  /      /

$$\left(- \pi^{2} + \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}\right) \operatorname{asin}^{2}{\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \right)}$$

Численный ответ

x1 = -40.3770568876665

x2 = 88.428241909515

x3 = 27.8106862733073

x4 = -3.6052402625906

x5 = 69.5786859879763

x6 = 9.88842556977019

x7 = -63.2955006807967

x8 = -46.6602421948461

x9 = -87.5009466915134

x10 = -69.5786859879763

x11 = -53.8707227200273

x12 = -56.0850201556155

x13 = 41.3043521056681

x14 = 2.67794504458899

x15 = -19.3132035305396

x16 = -62.3682054627951

x17 = 90.6425393451032

x18 = 12.1027230053584

x19 = 66.4370933343865

x20 = 56.0850201556155

x21 = -82.1450566023354

x22 = 38.1627594520783

x23 = -12.1027230053584

x24 = 93.784131998693

x25 = -43.5186495412563

x26 = 97.8530198702844

x27 = 82.1450566023354

x28 = 62.3682054627951

x29 = 74.9345760771542

x30 = 63.2955006807967

x31 = -1952632.24474512

x32 = 18.385908312538

x33 = 91.5698345631048

x34 = 5.81953769817878

x35 = -78.076168730744

x36 = -49.8018348484359

x37 = 3.6052402625906

x38 = -90.6425393451032

x39 = 84.3593540379236

x40 = -100.067317305873

x41 = 24.6690936197175

x42 = -97.8530198702844

x43 = -91.5698345631048

x44 = -84.3593540379236

x45 = -21.5275009661277

x46 = 19.3132035305396

x47 = -85.2866492559252

x48 = 46.6602421948461

x49 = -68.6513907699746

x50 = 47.5875374128477

x51 = 8.96113035176857

x52 = -25.5963888377192

x53 = 53.8707227200273

x54 = 100.067317305873

x55 = -5.81953769817878

x56 = 0.463647609000806

x57 = 34.0938715804869

x58 = 44.4459447592579

x59 = 49.8018348484359

x60 = -47.5875374128477

x61 = 52.9434275020257

x62 = -16.1716108769498

x63 = 68.6513907699746

x64 = 78.076168730744

x65 = -71.7929834235644

x66 = -38.1627594520783

x67 = 75.8618712951559

x68 = 22.4547961841294

x69 = -65.5097981163849

x70 = 40.3770568876665

x71 = -75.8618712951559

x72 = 71.7929834235644

x73 = -24.6690936197175

x74 = -9.88842556977019

x75 = 132.410539059772

x76 = -107.277797831054

x77 = 25.5963888377192

x78 = -41.3043521056681

x79 = 96.9257246522828

x80 = 31.8795741448987

x81 = 16.1716108769498

x82 = -18.385908312538

x83 = -93.784131998693

x84 = -34.0938715804869

x85 = 60.1539080272069

x86 = -27.8106862733073

x87 = 30.9522789268971

x88 = -31.8795741448987

x89 = -60.1539080272069

x90 = -2.67794504458899

График