sin2(x)=-1/2 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin2(x)=-1/2

Вы ввели

   2          
sin (x) = -1/2

$$\sin^{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1/2) = -2

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + i \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - i \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - i \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2} i}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + i \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$

Быстрый ответ

             /  ___\
             |\/ 2 |
x1 = -I*asinh|-----|
             \  2  /

$$x_{1} = - i \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$

            /  ___\
            |\/ 2 |
x2 = I*asinh|-----|
            \  2  /

$$x_{2} = i \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$

                 /  ___\
                 |\/ 2 |
x3 = pi - I*asinh|-----|
                 \  2  /

$$x_{3} = \pi - i \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$

                 /  ___\
                 |\/ 2 |
x4 = pi + I*asinh|-----|
                 \  2  /

$$x_{4} = \pi + i \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$

Численный ответ

x1 = -0.658478948462408*i

x2 = 0.658478948462408*i

x3 = 3.14159265358979 - 0.658478948462408*i

x4 = 3.14159265358979 + 0.658478948462408*i

График