sin^24x=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^24x=1

Вы ввели

   2         
sin (4*x) = 1

$$\sin^{2}{\left(4 x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(4 x \right)} = 1$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(4 x \right)} - 1 = 0$$
$$\sin^{2}{\left(4 x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(4 x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(4 x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(4 x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$4 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$4 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$4 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(1 \right)}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(-1 \right)}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}}{4} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\operatorname{asin}{\left(1 \right)}}{4} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}}{4} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\operatorname{asin}{\left(-1 \right)}}{4} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      8  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$

     pi
x2 = --
     8 

$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$

     3*pi
x3 = ----
      8  

$$x_{3} = \frac{3 \pi}{8}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   3*pi
0 - -- + -- + ----
    8    8     8  

$$\left(\left(- \frac{\pi}{8} + 0\right) + \frac{\pi}{8}\right) + \frac{3 \pi}{8}$$

=

3*pi
----
 8  

$$\frac{3 \pi}{8}$$

произведение

  -pi  pi 3*pi
1*----*--*----
   8   8   8  

$$\frac{3 \pi}{8} \frac{\pi}{8} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{8}\right)$$

=

     3
-3*pi 
------
 512  

$$- \frac{3 \pi^{3}}{512}$$

Численный ответ

x1 = 56.1559687726584

x2 = 39.6626074354068

x3 = -20.0276531403711

x4 = -77.3617192672069

x5 = 23.9546439953203

x6 = 89.9280897569419

x7 = -78.1471172213944

x8 = -86.001098890713

x9 = -67.9369412836569

x10 = 8.24668071816742

x11 = -43.5895980903384

x12 = -38.0918108733342

x13 = -97.7820713163696

x14 = -100.138265790463

x15 = -83.6449044492454

x16 = 71.8639319947566

x17 = 40.4480055463487

x18 = 34.1648201908862

x19 = 18.4568567586527

x20 = -65.5807466492376

x21 = -34.1648200932558

x22 = 74.2201264656603

x23 = -35.7356164447372

x24 = 64.0099503037514

x25 = -56.1559686551596

x26 = 93.8550805643735

x27 = -53.7997741488026

x28 = -17.671458718567

x29 = 9.81747700602707

x30 = 26.3108384381649

x31 = 67.9369411790693

x32 = 75.7909229918595

x33 = -31.808625564255

x34 = 22.3838476129746

x35 = 1.9634954407948

x36 = -87.5718951994764

x37 = 23.9546440210414

x38 = 62.4391540604724

x39 = 4.31968985954535

x40 = -82.0741080265313

x41 = 30.2378293002316

x42 = 52.2289778827223

x43 = -23.9546440740002

x44 = -57.7267650255918

x45 = 31.8086255341372

x46 = 20.0276531225419

x47 = -64.0099503059433

x48 = -93.8550804592948

x49 = 88.3572933346565

x50 = 48.3019870172534

x51 = -16.1006622978513

x52 = -1.96349547327712

x53 = -39.6626072961206

x54 = 84.4303025926259

x55 = 45.9457926004478

x56 = 96.2112750490707

x57 = -79.7179136060482

x58 = -71.0785337808521

x59 = 81.2887097633325

x60 = -12.1736715381875

x61 = 86.0010988906865

x62 = 92.2842841767324

x63 = -75.7909227328378

x64 = -9.81747697923826

x65 = -13.7444678634856

x66 = 82.0741081479066

x67 = 0.392699042256576

x68 = 53.7997740492615

x69 = 5.89048627683018

x70 = 66.3661447595544

x71 = -45.9457926801668

x72 = -27.096236512184

x73 = 27.8816348506178

x74 = -68.722339311987

x75 = -60.0829594495682

x76 = 42.0188017145847

x77 = -42.0188017225664

x78 = 63.2245521062676

x79 = 49.8727834233509

x80 = 44.3749961855592

x81 = -21.5984495258895

x82 = 12.1736717218817

x83 = 70.2931355967826

x84 = 78.1471173376857

x85 = 12.1736716060449

x86 = -61.6537558730453

График