sin^2(2x)=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^2(2x)=1

Вы ввели

   2         
sin (2*x) = 1

$$\sin^{2}{\left(2 x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(2 x \right)} = 1$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
$$\sin^{2}{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(2 x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(2 x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(2 x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(1 \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\operatorname{asin}{\left(-1 \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\operatorname{asin}{\left(-1 \right)}}{2} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      4  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

     pi
x2 = --
     4 

$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

     3*pi
x3 = ----
      4  

$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   3*pi
0 - -- + -- + ----
    4    4     4  

$$\left(\left(- \frac{\pi}{4} + 0\right) + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{3 \pi}{4}$$

=

3*pi
----
 4  

$$\frac{3 \pi}{4}$$

произведение

  -pi  pi 3*pi
1*----*--*----
   4   4   4  

$$\frac{3 \pi}{4} \frac{\pi}{4} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{4}\right)$$

=

     3
-3*pi 
------
  64  

$$- \frac{3 \pi^{3}}{64}$$

Численный ответ

x1 = 90.3207887457625

x2 = -38.4845100906754

x3 = -5.49778725647941

x4 = -91.8915846169758

x5 = -84.0376034471411

x6 = 8.63937970041344

x7 = -13.3517688688202

x8 = 77.7544182976932

x9 = -3.92699105526517

x10 = 24.347343006498

x11 = 18.0641575853046

x12 = 62.0464548185713

x13 = 19.6349541951516

x14 = 66.7588441131007

x15 = -11.780972425667

x16 = -16.4933615591447

x17 = 91.8915851975093

x18 = -77.7544181730257

x19 = 32.2013247418649

x20 = -33.7721210085549

x21 = 49.4800839996026

x22 = -68.3296400953708

x23 = -63.6172513104641

x24 = 27.4889354808973

x25 = -90.3207886690967

x26 = 0.785398118063847

x27 = -57.3340660035604

x28 = -24.3473429491357

x29 = 63.6172513369298

x30 = 52.6216768417318

x31 = -40.0553062838236

x32 = 55.7632697213615

x33 = 69.9004366179912

x34 = -99.7455667547305

x35 = 41.6261027663993

x36 = -93.4623815613976

x37 = 38.4845098973237

x38 = -41.6261027314388

x39 = -19.6349541522704

x40 = -82.4668071752083

x41 = 60.4756584745212

x42 = -10.210176008893

x43 = 71.4712325592813

x44 = -0.785398166130751

x45 = -60.4756586297418

x46 = 46.3384915861013

x47 = 98.1747704999445

x48 = -46.3384915220366

x49 = -62.0464548652478

x50 = -465.741111003319

x51 = -32.2013245860493

x52 = 84.0376034192262

x53 = -19.6349539733882

x54 = -49.4800844094223

x55 = -55.763269590985

x56 = 33.7721211448164

x57 = -71.4712329855388

x58 = -35.3429174368834

x59 = 54.1924733267788

x60 = 88.7499926302988

x61 = -98.1747705479865

x62 = 30.6305282706443

x63 = 44.7676955973049

x64 = -54.1924731634027

x65 = 82.4668070519044

x66 = -2.35619437671896

x67 = 85.6083999066255

x68 = 16.4933613203203

x69 = -76.1836217409515

x70 = -85.608399889346

x71 = 40.055306209136

x72 = -98.1747703186947

x73 = -33.7721211587531

x74 = 2.35619442704144

x75 = 93.462381626966

x76 = 11.7809725680634

x77 = 96.6039739860399

x78 = 5.49778696422816

x79 = -27.4889358330644

x80 = 47.9092880382216

x81 = 10.2101761577675

x82 = 22.7765470504813

x83 = 3.92699087784889

x84 = 25.918139458182

x85 = -79.325214568582

x86 = 68.3296401658547

x87 = 74.6128254135616

x88 = 99.7455668738049

x89 = 76.1836219127145

x90 = -18.0641577028072

График