sin^2(x)=2 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^2(x)=2

Вы ввели

   2       
sin (x) = 2

$$\sin^{2}{\left(x \right)} = 2$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = 2$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - 2 = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-2) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \sqrt{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \sqrt{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}$$

Быстрый ответ

            /    /  ___\\       /    /  ___\\
x1 = pi - re\asin\\/ 2 // - I*im\asin\\/ 2 //

$$x_{1} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}$$

              /    /  ___\\     /    /  ___\\
x2 = pi + I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 //

$$x_{2} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}$$

         /    /  ___\\       /    /  ___\\
x3 = - re\asin\\/ 2 // - I*im\asin\\/ 2 //

$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}$$

         /    /  ___\\     /    /  ___\\
x4 = I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 //

$$x_{4} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

           /    /  ___\\       /    /  ___\\            /    /  ___\\     /    /  ___\\       /    /  ___\\       /    /  ___\\       /    /  ___\\     /    /  ___\\
0 + pi - re\asin\\/ 2 // - I*im\asin\\/ 2 // + pi + I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 // + - re\asin\\/ 2 // - I*im\asin\\/ 2 // + I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 //

$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right) - \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right)$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  /       /    /  ___\\       /    /  ___\\\ /         /    /  ___\\     /    /  ___\\\ /    /    /  ___\\       /    /  ___\\\ /    /    /  ___\\     /    /  ___\\\
1*\pi - re\asin\\/ 2 // - I*im\asin\\/ 2 ///*\pi + I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 ///*\- re\asin\\/ 2 // - I*im\asin\\/ 2 ///*\I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 ///

$$1 \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right)$$

=

                                     2                                                                                       
/    /    /  ___\\     /    /  ___\\\  /         /    /  ___\\     /    /  ___\\\ /          /    /  ___\\     /    /  ___\\\
\I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 /// *\pi + I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 ///*\-pi + I*im\asin\\/ 2 // + re\asin\\/ 2 ///

$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right)^{2} \left(- \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\sqrt{2} \right)}\right)}\right)$$

Численный ответ

x1 = 1.5707963267949 + 0.881373587019543*i

x2 = 4.71238898038469 - 0.881373587019543*i

x3 = -1.5707963267949 + 0.881373587019543*i

x4 = 1.5707963267949 - 0.881373587019543*i

График