sin^3(-x)=-1 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin^3(-x)=-1

Вы ввели

   3         
sin (-x) = -1

$$\sin^{3}{\left(- x \right)} = -1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{3}{\left(- x \right)} = -1$$
преобразуем
$$1 - \sin^{3}{\left(x \right)} = 0$$
$$\sin^{3}{\left(- x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Дано уравнение
$$\sin^{3}{\left(- x \right)} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(0 w + \sin{\left(x \right)}\right)^{3}} = \sqrt[3]{1}$$
или
$$\sin{\left(x \right)} = 1$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

sinx = 1

Данное ур-ние не имеет решений

делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:

Быстрый ответ

     pi
x1 = --
     2 

$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$

              /    /        ___\\     /    /        ___\\
              |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||
x2 = pi + I*im|asin|- - -------|| + re|asin|- - -------||
              \    \2      2   //     \    \2      2   //

$$x_{2} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

              /    /        ___\\     /    /        ___\\
              |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||
x3 = pi + I*im|asin|- + -------|| + re|asin|- + -------||
              \    \2      2   //     \    \2      2   //

$$x_{3} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\       /    /        ___\\
         |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||
x4 = - re|asin|- - -------|| - I*im|asin|- - -------||
         \    \2      2   //       \    \2      2   //

$$x_{4} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

         /    /        ___\\       /    /        ___\\
         |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||
x5 = - re|asin|- + -------|| - I*im|asin|- + -------||
         \    \2      2   //       \    \2      2   //

$$x_{5} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              /    /        ___\\     /    /        ___\\            /    /        ___\\     /    /        ___\\       /    /        ___\\       /    /        ___\\       /    /        ___\\       /    /        ___\\
pi            |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||            |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||
-- + pi + I*im|asin|- - -------|| + re|asin|- - -------|| + pi + I*im|asin|- + -------|| + re|asin|- + -------|| + - re|asin|- - -------|| - I*im|asin|- - -------|| + - re|asin|- + -------|| - I*im|asin|- + -------||
2             \    \2      2   //     \    \2      2   //            \    \2      2   //     \    \2      2   //       \    \2      2   //       \    \2      2   //       \    \2      2   //       \    \2      2   //

$$\left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(\frac{\pi}{2} + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)\right)$$

=

5*pi
----
 2  

$$\frac{5 \pi}{2}$$

произведение

   /         /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /         /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\       /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\       /    /        ___\\\
pi |         |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||| |         |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||| |    |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 ||| |    |    |1   I*\/ 3 ||       |    |1   I*\/ 3 |||
--*|pi + I*im|asin|- - -------|| + re|asin|- - -------|||*|pi + I*im|asin|- + -------|| + re|asin|- + -------|||*|- re|asin|- - -------|| - I*im|asin|- - -------|||*|- re|asin|- + -------|| - I*im|asin|- + -------|||
2  \         \    \2      2   //     \    \2      2   /// \         \    \2      2   //     \    \2      2   /// \    \    \2      2   //       \    \2      2   /// \    \    \2      2   //       \    \2      2   ///

$$\frac{\pi}{2} \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)$$

=

   /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /    /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /         /    /        ___\\     /    /        ___\\\ /         /    /        ___\\     /    /        ___\\\
   |    |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||| |    |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||| |         |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 ||| |         |    |1   I*\/ 3 ||     |    |1   I*\/ 3 |||
pi*|I*im|asin|- + -------|| + re|asin|- + -------|||*|I*im|asin|- - -------|| + re|asin|- - -------|||*|pi + I*im|asin|- + -------|| + re|asin|- + -------|||*|pi + I*im|asin|- - -------|| + re|asin|- - -------|||
   \    \    \2      2   //     \    \2      2   /// \    \    \2      2   //     \    \2      2   /// \         \    \2      2   //     \    \2      2   /// \         \    \2      2   //     \    \2      2   ///
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                         2                                                                                                          

$$\frac{\pi \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)} + \pi + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \right)}\right)}\right)}{2}$$

Численный ответ

x1 = 76.9690200029293

x2 = 58.1194644844887

x3 = 89.5353908231018

x4 = -54.9778715175547

x5 = 7.85398173810397

x6 = 83.2522054292826

x7 = 39.2699082961847

x8 = 26.7035373703231

x9 = -23.5619448224835

x10 = -48.6946863798543

x11 = -10.9955744587939

x12 = -80.1106125809763

x13 = 20.4203521516612

x14 = -86.3937977870944

x15 = -17.2787597821898

x16 = -98.9601686411594

x17 = -92.6769837671623

x18 = 76.9690198777249

x19 = -54.9778715176691

x20 = -29.8451301446809

x21 = -29.8451300972562

x22 = 14.1371664660751

x23 = 14.1371672128924

x24 = 51.836278896849

x25 = -61.2610569341939

x26 = 190.066354876925

x27 = 278.03095037555

x28 = 83.252205118005

x29 = 1.57079651890936

x30 = -4.71238883977361

x31 = -36.1283154211484

x32 = 83.2522054949966

x33 = 32.9867227196989

x34 = -92.676983118432

x35 = 45.5530936712418

x36 = 58.1194645617567

x37 = -4.71238901540679

x38 = -73.827427048759

x39 = -73.8274272802383

x40 = 95.8185760551344

x41 = 39.2699082836071

x42 = -98.9601690380214

x43 = -10.9955734163595

x44 = 32.9867227426167

x45 = -10.9955743893595

x46 = 14.1371670994768

x47 = -42.4115006338752

x48 = 76.9690196360676

x49 = -54.9778711857122

x50 = -155.508836339365

x51 = 64.4026493101842

x52 = 58.1194637346778

x53 = -73.8274274333269

x54 = 5524.49068183132

x55 = 102.101761144669

x56 = -23.561945006555

x57 = -67.5442421644701

x58 = 1.57079724902864

x59 = 70.6858345233139

x60 = -48.6946859781078

x61 = -23.5619444572177

График