sin(x)^(2)=cos(x) (уравнение)

Найду корень уравнения: sin(x)^(2)=cos(x)

Вы ввели

   2            
sin (x) = cos(x)

$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} = 0$$
$$- \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (-1) * (1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}$$

Быстрый ответ

         /     /   ___________\\         /     /   ___________\\
         |     |  /       ___ ||         |     |  /       ___ ||
x1 = 2*im\atanh\\/  2 + \/ 5  // - 2*I*re\atanh\\/  2 + \/ 5  //

$$x_{1} = 2 \Im{\left(\operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right )}\right)} - 2 i \Re{\left(\operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right )}\right)}$$

           /     /   ___________\\         /     /   ___________\\
           |     |  /       ___ ||         |     |  /       ___ ||
x2 = - 2*im\atanh\\/  2 + \/ 5  // + 2*I*re\atanh\\/  2 + \/ 5  //

$$x_{2} = - 2 \Im{\left(\operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right )}\right)} + 2 i \Re{\left(\operatorname{atanh}{\left (\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right )}\right)}$$

            /   ____________\
            |  /        ___ |
x3 = -2*atan\\/  -2 + \/ 5  /

$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$

           /   ____________\
           |  /        ___ |
x4 = 2*atan\\/  -2 + \/ 5  /

$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right )}$$

Численный ответ

x1 = 5.37862841288000

x2 = -63.7364099661000

x3 = -80.7768520990000

x4 = -93.3432227134000

x5 = 68.2104814847000

x6 = -13.4709275087000

x7 = -24.2281843344000

x8 = 19.7541128158000

x9 = 26.0372981230000

x10 = -1004.40509225000

x11 = 63.7364099661000

x12 = -68.2104814847000

x13 = -70.0195952733000

x14 = -5.37862841288000

x15 = -17.9449990272000

x16 = 74.4936667919000

x17 = -57.4532246589000

x18 = 17.9449990272000

x19 = 55.6441108703000

x20 = 44.8868540446000

x21 = -61.9272961775000

x22 = -99.6264080206000

x23 = -26.0372981230000

x24 = 99.6264080206000

x25 = -76.3027805805000

x26 = 101.435521809000

x27 = 88.8691511948000

x28 = -19.7541128158000

x29 = -44.8868540446000

x30 = 32.3204834302000

x31 = 187.591002321000

x32 = 61.9272961775000

x33 = -74.4936667919000

x34 = 57.4532246589000

x35 = 76.3027805805000

x36 = 70.0195952733000

x37 = -32.3204834302000

x38 = -139.134633652000

x39 = 24.2281843344000

x40 = -36.7945549488000

x41 = 36.7945549488000

x42 = -38.6036687374000

x43 = 11.6618137201000

x44 = 7.18774220148000

x45 = 38.6036687374000

x46 = -0.904556894302000

x47 = 43.0777402560000

x48 = -82.5859658876000

x49 = 95.1523365020000

x50 = -49.3609255631000

x51 = 51.1700393517000

x52 = -200.157372935000

x53 = 87.0600374062000

x54 = -88.8691511948000

x55 = 49.3609255631000

x56 = -55.6441108703000

x57 = -30.5113696416000

x58 = -95.1523365020000

x59 = 80.7768520990000

x60 = 2141.66163285000

x61 = 13.4709275087000

x62 = 30.5113696416000

x63 = 82.5859658876000

x64 = -7.18774220148000

x65 = -51.1700393517000

x66 = -11.6618137201000

График