sin(x)^2=-1 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin(x)^2=-1

Вы ввели

   2        
sin (x) = -1

$$\sin^{2}{\left(x \right)} = -1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = -1$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = i$$
Упростить
$$w_{2} = - i$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(i \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- i \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(i \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- i \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

Быстрый ответ

           /      ___\
x1 = -I*log\1 + \/ 2 /

$$x_{1} = - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

          /      ___\
x2 = I*log\1 + \/ 2 /

$$x_{2} = i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

               /      ___\
x3 = pi - I*log\1 + \/ 2 /

$$x_{3} = \pi - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

               /      ___\
x4 = pi + I*log\1 + \/ 2 /

$$x_{4} = \pi + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

         /      ___\        /      ___\             /      ___\             /      ___\
0 - I*log\1 + \/ 2 / + I*log\1 + \/ 2 / + pi - I*log\1 + \/ 2 / + pi + I*log\1 + \/ 2 /

$$\left(\left(\pi - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + \left(\left(0 - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)\right) + \left(\pi + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

        /      ___\      /      ___\ /          /      ___\\ /          /      ___\\
1*-I*log\1 + \/ 2 /*I*log\1 + \/ 2 /*\pi - I*log\1 + \/ 2 //*\pi + I*log\1 + \/ 2 //

$$i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)} 1 \left(- i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\pi - i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right) \left(\pi + i \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right)$$

=

   2/      ___\ /  2      2/      ___\\
log \1 + \/ 2 /*\pi  + log \1 + \/ 2 //

$$\left(\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{2} + \pi^{2}\right) \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}^{2}$$

Численный ответ

x1 = -0.881373587019543*i

x2 = 0.881373587019543*i

x3 = 3.14159265358979 - 0.881373587019543*i

x4 = 3.14159265358979 + 0.881373587019543*i

График