sin(x)^2=0,25 (уравнение)

Найду корень уравнения: sin(x)^2=0,25

Вы ввели

   2         
sin (x) = 1/4

$$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{4}$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{4}$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{4} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{4} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = - \frac{1}{4}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1/4) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      6  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$

     pi
x2 = --
     6 

$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$

     5*pi
x3 = ----
      6  

$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$

     7*pi
x4 = ----
      6  

$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi   5*pi   7*pi
0 - -- + -- + ---- + ----
    6    6     6      6  

$$\left(\left(\left(- \frac{\pi}{6} + 0\right) + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{5 \pi}{6}\right) + \frac{7 \pi}{6}$$

=

2*pi

$$2 \pi$$

произведение

  -pi  pi 5*pi 7*pi
1*----*--*----*----
   6   6   6    6  

$$\frac{7 \pi}{6} \frac{5 \pi}{6} \frac{\pi}{6} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{6}\right)$$

=

      4
-35*pi 
-------
  1296 

$$- \frac{35 \pi^{4}}{1296}$$

Численный ответ

x1 = -71.733032256967

x2 = 125.140107367993

x3 = -16.2315620435473

x4 = 0.523598775598299

x5 = 71.733032256967

x6 = -38.2227106186758

x7 = -68.5914396033772

x8 = -31.9395253114962

x9 = 1169.196065911

x10 = -13.0899693899575

x11 = 27.7507351067098

x12 = -18.3259571459405

x13 = 90.5825881785057

x14 = 84.2994028713261

x15 = -2.61799387799149

x16 = -90.5825881785057

x17 = -91.6297857297023

x18 = -25.6563400043166

x19 = 68.5914396033772

x20 = 74.8746249105567

x21 = -49.7418836818384

x22 = -84.2994028713261

x23 = -34.0339204138894

x24 = -5.75958653158129

x25 = -75.9218224617533

x26 = -47.6474885794452

x27 = -12.0427718387609

x28 = 34.0339204138894

x29 = 85.3466004225227

x30 = 30.8923277602996

x31 = 62.3082542961976

x32 = 31.9395253114962

x33 = -3.66519142918809

x34 = -43.4586983746588

x35 = -87.4409955249159

x36 = 38.2227106186758

x37 = 96.8657734856853

x38 = 19.3731546971371

x39 = -63.3554518473942

x40 = 12.0427718387609

x41 = 22.5147473507269

x42 = 16.2315620435473

x43 = 82.2050077689329

x44 = -65.4498469497874

x45 = 69.6386371545737

x46 = 60.2138591938044

x47 = 93.7241808320955

x48 = 131.423292675173

x49 = -27.7507351067098

x50 = -97.9129710368819

x51 = 41.3643032722656

x52 = 2.61799387799149

x53 = 53.9306738866248

x54 = 8.90117918517108

x55 = -85.3466004225227

x56 = -40.317105721069

x57 = -60.2138591938044

x58 = 100.007366139275

x59 = 3.66519142918809

x60 = -81.1578102177363

x61 = 66.497044500984

x62 = -217.293491873294

x63 = 24.60914245312

x64 = -62.3082542961976

x65 = -21.4675497995303

x66 = -53.9306738866248

x67 = -78.0162175641465

x68 = -56.025068989018

x69 = 52.8834763354282

x70 = -82.2050077689329

x71 = 56.025068989018

x72 = 5.75958653158129

x73 = 47.6474885794452

x74 = 78.0162175641465

x75 = 75.9218224617533

x76 = -93.7241808320955

x77 = -35.081117965086

x78 = 46.6002910282486

x79 = -41.3643032722656

x80 = 40.317105721069

x81 = 97.9129710368819

x82 = -69.6386371545737

x83 = 91.6297857297023

x84 = 44.5058959258554

x85 = -24.60914245312

x86 = -100.007366139275

x87 = 18.3259571459405

x88 = 88.4881930761125

x89 = 49.7418836818384

x90 = -19.3731546971371

x91 = -9.94837673636768

x92 = 9.94837673636768

x93 = 25.6563400043166

x94 = -46.6002910282486

x95 = 63.3554518473942

График