tg²x-3tgx-4=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: tg²x-3tgx-4=0

Вы ввели

   2                      
tan (x) - 3*tan(x) - 4 = 0

$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} - 4 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} - 4 = 0$$
преобразуем
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} - 4 = 0$$
$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 3 \tan{\left(x \right)} - 4\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-4) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 4$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      4  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

x2 = atan(4)

$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi          
0 - -- + atan(4)
    4           

$$\left(- \frac{\pi}{4} + 0\right) + \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$$

=

  pi          
- -- + atan(4)
  4           

$$- \frac{\pi}{4} + \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$$

произведение

  -pi         
1*----*atan(4)
   4          

$$1 \left(- \frac{\pi}{4}\right) \operatorname{atan}{\left(4 \right)}$$

=

-pi*atan(4) 
------------
     4      

$$- \frac{\pi \operatorname{atan}{\left(4 \right)}}{4}$$

Численный ответ

x1 = 68.329640215578

x2 = -41.6261026600648

x3 = 20.1753735852068

x4 = 30.6305283725005

x5 = 11.7809724509617

x6 = -22.776546738526

x7 = 8.63937979737193

x8 = -35.3429173528852

x9 = 27.4889357189107

x10 = 24.3473430653209

x11 = -38.484510006475

x12 = 14.9225651045516

x13 = 43.1968989868597

x14 = -106284.00646176

x15 = -89.780369290436

x16 = -52.0812574473585

x17 = 46.3384916404494

x18 = -69.9004365423729

x19 = -44.7676953136546

x20 = 84.037603483527

x21 = 90.3207887907066

x22 = -79.3252145031423

x23 = -67.7892207153074

x24 = 5.49778714378214

x25 = -63.6172512351933

x26 = -96.0635545976156

x27 = 52.621676947629

x28 = 87.1791961371168

x29 = 36.9137136796801

x30 = -47.9092879672443

x31 = 49.4800842940392

x32 = -1.81577498992176

x33 = -91.8915851175014

x34 = -10.2101761241668

x35 = -54.1924732744239

x36 = -132.732289614169

x37 = 2.35619449019234

x38 = -0.785398163397448

x39 = -60.4756585816035

x40 = 77.7544181763474

x41 = 71.4712328691678

x42 = -74.072406022487

x43 = 14.9225651045515

x44 = -57.3340659280137

x45 = 58.9048622548086

x46 = -85.6083998103219

x47 = 42.1665221603353

x48 = -3.92699081698724

x49 = -23.8069235650503

x50 = -19.6349540849362

x51 = -16.4933614313464

x52 = -32.2013246992954

x53 = -45.7980721401789

x54 = 2320.85157283946

x55 = 35.8833368531558

x56 = 64.1576707354639

x57 = -82.4668071567321

x58 = -98.174770424681

x59 = 32.741744199566

x60 = -30.0901088722299

x61 = -296.095107600838

x62 = 55.7632696012188

x63 = -8.09896029710135

x64 = 62.0464549083984

x65 = -101.316363078271

x66 = 21.2057504117311

x67 = 86.1488193105924

x68 = -25.9181393921158

x69 = 18.0641577581413

x70 = 93.4623814442964

x71 = 13.8921882780272

x72 = 65.1880475619882

x73 = 4227.79831356846

x74 = 99.7455667514759

x75 = -88.7499924639117

x76 = -76.1836218495525

x77 = 57.8744854282843

x78 = -66.7588438887831

x79 = 33.7721210260903

x80 = -2573.74978145344

x81 = 40.0553063332699

x82 = 96.6039740978861

x83 = -13.3517687777566

x84 = 74.6128255227576

График