(tg^2(x)-tg(x))*sqrt(8*cos(x))=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: (tg^2(x)-tg(x))*sqrt(8*cos(x))=0

Вы ввели

/   2            \   __________    
\tan (x) - tan(x)/*\/ 8*cos(x)  = 0

$$\sqrt{8 \cos{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\sqrt{8 \cos{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
преобразуем
$$2 \sqrt{2} \left(\tan{\left(x \right)} - 1\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} = 0$$
$$\sqrt{8 \cos{\left(x \right)}} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Раскроем выражение в уравнении
$$2 \sqrt{2} \left(w^{2} - w\right) \sqrt{\cos{\left(x \right)}} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$2 \sqrt{2} w^{2} \sqrt{\cos{\left(x \right)}} - 2 \sqrt{2} w \sqrt{\cos{\left(x \right)}} = 0$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2 \sqrt{2} \sqrt{\cos{\left(x \right)}}$$
$$b = - 2 \sqrt{2} \sqrt{\cos{\left(x \right)}}$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2*sqrt(2)*sqrt(cos(x)))^2 - 4 * (2*sqrt(2)*sqrt(cos(x))) * (0) = 8*cos(x)

Уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = 0$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n$$

Быстрый ответ

x1 = 0

$$x_{1} = 0$$

     pi
x2 = --
     4 

$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

     pi
x3 = --
     2 

$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$

     3*pi
x4 = ----
      2  

$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        pi   pi   3*pi
0 + 0 + -- + -- + ----
        4    2     2  

$$\left(\left(\left(0 + 0\right) + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{3 \pi}{2}$$

=

9*pi
----
 4  

$$\frac{9 \pi}{4}$$

произведение

    pi pi 3*pi
1*0*--*--*----
    4  2   2  

$$\frac{3 \pi}{2} \frac{\pi}{2} 1 \cdot 0 \frac{\pi}{4}$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

x1 = -12.5663706143592

x2 = 75.398223686155

x3 = 40.8407044966673

x4 = 21.9911485751286

x5 = -11.7809724509617

x6 = 81.6814089933346

x7 = -87.9645943005142

x8 = 91.8915851175014

x9 = -69.1150383789755

x10 = -18.0641577581413

x11 = 56.5486677646163

x12 = -75.398223686155

x13 = -18.8495559215388

x14 = -74.6128255227576

x15 = -43.9822971502571

x16 = 63.6172512351933

x17 = -33.7721210260903

x18 = 97.3893722612836

x19 = 6.28318530717959

x20 = -8.63937979737193

x21 = 72.2566310325652

x22 = 3.14159265358979

x23 = 3.92699081698724

x24 = -2.35619449019234

x25 = -62.8318530717959

x26 = -53.4070751110265

x27 = -72.2566310325652

x28 = -47.1238898038469

x29 = -34.5575191894877

x30 = -46.3384916404494

x31 = 19.6349540849362

x32 = -68.329640215578

x33 = -21.9911485751286

x34 = 91.106186954104

x35 = -31.4159265358979

x36 = -77.7544181763474

x37 = 47.1238898038469

x38 = 18.8495559215388

x39 = 32.2013246992954

x40 = -3.14159265358979

x41 = 10.2101761241668

x42 = -78.5398163397448

x43 = -25.1327412287183

x44 = -52.621676947629

x45 = 34.5575191894877

x46 = -55.7632696012188

x47 = -94.2477796076938

x48 = 12.5663706143592

x49 = 57.3340659280137

x50 = -50.2654824574367

x51 = -97.3893722612836

x52 = 9.42477796076938

x53 = 0.0

x54 = -24.3473430653209

x55 = -40.8407044966673

x56 = 62.8318530717959

x57 = -37.6991118430775

x58 = 65.9734457253857

x59 = 31.4159265358979

x60 = -40.0553063332699

x61 = -81.6814089933346

x62 = 28.2743338823081

x63 = 100.530964914873

x64 = -96.6039740978861

x65 = -84.8230016469244

x66 = 69.9004365423729

x67 = -30.6305283725005

x68 = 98.174770424681

x69 = 87.9645943005142

x70 = -91.106186954104

x71 = -6.28318530717959

x72 = 37.6991118430775

x73 = 43.9822971502571

x74 = -84.037603483527

x75 = -56.5486677646163

x76 = 94.2477796076938

x77 = 85.6083998103219

x78 = -59.6902604182061

x79 = -9.42477796076938

x80 = -15.707963267949

x81 = 54.1924732744239

x82 = 25.9181393921158

x83 = 78.5398163397448

x84 = 76.1836218495525

x85 = 84.8230016469244

x86 = -65.9734457253857

x87 = 50.2654824574367

x88 = 69.1150383789755

x89 = -90.3207887907066

x90 = -99.7455667514759

x91 = 25.1327412287183

x92 = 41.6261026600648

x93 = 13.3517687777566

x94 = 53.4070751110265

x95 = -62.0464549083984

x96 = 47.9092879672443

График