tg^2(x)=1 (уравнение)

Найду корень уравнения: tg^2(x)=1

Вы ввели

   2       
tan (x) = 1

$$\tan^{2}{\left(x \right)} = 1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\tan^{2}{\left(x \right)} = 1$$
преобразуем
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    pi   pi
0 - -- + --
    4    4 

$$\left(- \frac{\pi}{4} + 0\right) + \frac{\pi}{4}$$

=

0

$$0$$

произведение

  -pi  pi
1*----*--
   4   4 

$$\frac{\pi}{4} \cdot 1 \left(- \frac{\pi}{4}\right)$$

=

   2 
-pi  
-----
  16 

$$- \frac{\pi^{2}}{16}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      4  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

     pi
x2 = --
     4 

$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Численный ответ

x1 = -65.1880475619882

x2 = 68.329640215578

x3 = -41.6261026600648

x4 = 3.92699081698724

x5 = 16.4933614313464

x6 = 30.6305283725005

x7 = 11.7809724509617

x8 = -22.776546738526

x9 = -40.0553063332699

x10 = 8.63937979737193

x11 = -35.3429173528852

x12 = 10.2101761241668

x13 = -5.49778714378214

x14 = 32.2013246992954

x15 = -223.838476568273

x16 = -27.4889357189107

x17 = 24.3473430653209

x18 = -62.0464549083984

x19 = -68.329640215578

x20 = -2228974.91028706

x21 = 46.3384916404494

x22 = -43.1968989868597

x23 = 19.6349540849362

x24 = -69.9004365423729

x25 = -55.7632696012188

x26 = 84.037603483527

x27 = 54.1924732744239

x28 = 90.3207887907066

x29 = -79.3252145031423

x30 = 60.4756585816035

x31 = -24.3473430653209

x32 = -63.6172512351933

x33 = 47.9092879672443

x34 = 52.621676947629

x35 = 98.174770424681

x36 = -90.3207887907066

x37 = -47.9092879672443

x38 = -363.639349653019

x39 = -91.8915851175014

x40 = -10.2101761241668

x41 = -54.1924732744239

x42 = 2.35619449019234

x43 = 80.8960108299372

x44 = -33.7721210260903

x45 = -18.0641577581413

x46 = -60.4756585816035

x47 = 76.1836218495525

x48 = 77.7544181763474

x49 = -99.7455667514759

x50 = -30.6305283725005

x51 = -77.7544181763474

x52 = -93.4623814442964

x53 = -57.3340659280137

x54 = -85.6083998103219

x55 = -3.92699081698724

x56 = -19.6349540849362

x57 = -32.2013246992954

x58 = 91.8915851175014

x59 = 69.9004365423729

x60 = 38.484510006475

x61 = 13.3517687777566

x62 = -82.4668071567321

x63 = -98.174770424681

x64 = 41.6261026600648

x65 = 57.3340659280137

x66 = 55.7632696012188

x67 = 45319.830222523

x68 = -52.621676947629

x69 = -11.7809724509617

x70 = 62.0464549083984

x71 = 82.4668071567321

x72 = -8.63937979737193

x73 = -25.9181393921158

x74 = 1599.8560588406

x75 = -71.4712328691678

x76 = 18.0641577581413

x77 = -96.6039740978861

x78 = -74.6128255227576

x79 = -168.860605130451

x80 = 99.7455667514759

x81 = -2.35619449019234

x82 = 63.6172512351933

x83 = -76.1836218495525

x84 = -46.3384916404494

x85 = 85.6083998103219

x86 = 25.9181393921158

x87 = -84.037603483527

x88 = 33.7721210260903

x89 = -49.4800842940392

x90 = 40.0553063332699

x91 = 96.6039740978861

x92 = -13.3517687777566

x93 = 74.6128255227576

x94 = 520.718982332508

График