tgквадратx-2tgx-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: tgквадратx-2tgx-3=0

Вы ввели

   2                      
tan (x) - 2*tan(x) - 3 = 0

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$
преобразуем
$$\tan^{2}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} - 3 = 0$$
$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (-3) = 16

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 3$$
Упростить
$$w_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

     -pi 
x1 = ----
      4  

$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$

x2 = atan(3)

$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

  pi          
- -- + atan(3)
  4           

$$- \frac{\pi}{4} + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

=

  pi          
- -- + atan(3)
  4           

$$- \frac{\pi}{4} + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

произведение

-pi         
----*atan(3)
 4          

$$- \frac{\pi}{4} \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

=

-pi*atan(3) 
------------
     4      

$$- \frac{\pi \operatorname{atan}{\left(3 \right)}}{4}$$

Численный ответ

x1 = -67.8659926065772

x2 = 27.4889357189107

x3 = 55.7632696012188

x4 = 70.3640841513737

x5 = 2.35619449019234

x6 = -698.218967260332

x7 = 26.3817870011166

x8 = 43.1968989868597

x9 = -47.9092879672443

x10 = 77.7544181763474

x11 = -10.2101761241668

x12 = 18.0641577581413

x13 = -35.3429173528852

x14 = -13.3517687777566

x15 = 86.0720474193227

x16 = -57.3340659280137

x17 = 68.329640215578

x18 = -44.7676953136546

x19 = -88.7499924639117

x20 = -30.1668807634997

x21 = -76.1836218495525

x22 = -16.4933614313464

x23 = 4.39063842598805

x24 = -38.484510006475

x25 = 33.7721210260903

x26 = 87.1791961371168

x27 = -3.92699081698724

x28 = -69.9004365423729

x29 = 42.0897502690656

x30 = 5.49778714378214

x31 = 46.3384916404494

x32 = -0.785398163397448

x33 = 24.3473430653209

x34 = 40.0553063332699

x35 = 35.806564961886

x36 = 21.2057504117311

x37 = -25.9181393921158

x38 = -85.6083998103219

x39 = 11.7809724509617

x40 = -52.1580293386282

x41 = 64.0808988441941

x42 = -23.8836954563201

x43 = -79.3252145031423

x44 = -51.0508806208341

x45 = -74.1491779137568

x46 = 74.6128255227576

x47 = 62.0464549083984

x48 = -45.8748440314486

x49 = 30.6305283725005

x50 = 92.3552327265023

x51 = -1.89254688119154

x52 = -98.174770424681

x53 = 48.3729355762452

x54 = -60.4756585816035

x55 = 147446.72420542

x56 = 96.6039740978861

x57 = -66.7588438887831

x58 = -8.17573218837112

x59 = 93.4623814442964

x60 = 63304.3410156067

x61 = -41.6261026600648

x62 = -91.8915851175014

x63 = 20.098601693937

x64 = 65.1880475619882

x65 = 8.63937979737193

x66 = -54.1924732744239

x67 = 49.4800842940392

x68 = -89.8571411817058

x69 = 90.3207887907066

x70 = -22.776546738526

x71 = 71.4712328691678

x72 = -32.2013246992954

x73 = -82.4668071567321

x74 = 13.8154163867574

x75 = -63.6172512351933

x76 = -19.6349540849362

x77 = 80.8960108299372

x78 = 99.7455667514759

x79 = -78622.2831469016

x80 = 84.037603483527

x81 = 52.621676947629

x82 = -96.1403264888853

График