3tg²x-8tgx-3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3tg²x-8tgx-3=0

Вы ввели

     2                      
3*tan (x) - 8*tan(x) - 3 = 0

$$3 \tan^{2}{\left(x \right)} - 8 \tan{\left(x \right)} - 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$3 \tan^{2}{\left(x \right)} - 8 \tan{\left(x \right)} - 3 = 0$$
преобразуем
$$3 \tan^{2}{\left(x \right)} - 8 \tan{\left(x \right)} - 3 = 0$$
$$\left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} - 8 \tan{\left(x \right)} - 3\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = -8$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (3) * (-3) = 100

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 3$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{1}{3}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$

Быстрый ответ

x1 = -atan(1/3)

$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$

x2 = atan(3)

$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - atan(1/3) + atan(3)

$$\left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)} + 0\right) + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

=

-atan(1/3) + atan(3)

$$- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

произведение

1*-atan(1/3)*atan(3)

$$1 \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}\right) \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

=

-atan(3)*atan(1/3)

$$- \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)} \operatorname{atan}{\left(3 \right)}$$

Численный ответ

x1 = 90.7844363997074

x2 = -52.1580293386282

x3 = 21.6693980207319

x4 = -72.5783815869619

x5 = 70.3640841513737

x6 = 62.5101025173992

x7 = -66.2951962797823

x8 = -25.454491783115

x9 = 92.3552327265023

x10 = -78.8615668941415

x11 = -19.1713064759354

x12 = 18.5278053671421

x13 = -16.0297138223456

x14 = 65.651695170989

x15 = -88.2863448549109

x16 = -60.0120109726027

x17 = -50.5872330118333

x18 = 24.8109906743217

x19 = -56.8704183190129

x20 = -22.3128991295252

x21 = 46.8021392494503

x22 = 59.3685098638094

x23 = 71.9348804781686

x24 = -94.5695301620904

x25 = -100.85271546927

x26 = 100.209214360477

x27 = 43.6605465958605

x28 = -23.8836954563201

x29 = 12.2446200599625

x30 = 9.10302740637274

x31 = 64.0808988441941

x32 = 87.6428437461176

x33 = -89.8571411817058

x34 = 35.806564961886

x35 = -34.8792697438844

x36 = -30.1668807634997

x37 = 13.8154163867574

x38 = -6.60493586157623

x39 = -41.162455051064

x40 = -63.1536036261925

x41 = 2.81984209919315

x42 = -67.8659926065772

x43 = -47.4456403582435

x44 = -82.0031595477313

x45 = 5.96143475278294

x46 = -3.46334320798644

x47 = -421.295166135429

x48 = -8.17573218837112

x49 = 20.098601693937

x50 = 56.2269172102196

x51 = 81.359658438938

x52 = -75.7199742405517

x53 = 34.2357686350911

x54 = -0.321750554396642

x55 = -53.7288256654231

x56 = -12.8881211687558

x57 = -85.1447522013211

x58 = 78.2180657853482

x59 = -69.4367889333721

x60 = 57.7977135370145

x61 = 42.0897502690656

x62 = -31.7376770902946

x63 = 27.9525833279115

x64 = -96.1403264888853

x65 = -91.4279375085006

x66 = 97.067621706887

x67 = -9.74652851516602

x68 = 53.0853245566298

x69 = 15.3862127135523

x70 = -28.5960844367048

x71 = 84.5012510925278

x72 = 49.9437319030401

x73 = -45.8748440314486

x74 = -44.3040477046537

x75 = -1.89254688119154

x76 = 40.5189539422707

x77 = 68.7932878245788

x78 = 86.0720474193227

x79 = 31.0941759815013

x80 = 75.0764731317584

x81 = -97.7111228156802

x82 = -74.1491779137568

x83 = -38.0208623974742

x84 = 93.9260290532972

x85 = 37.3773612886809

График