3x^3-108=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 3x^3-108=0

Вы ввели

   3          
3*x  - 108 = 0

$$3 x^{3} - 108 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$3 x^{3} - 108 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{108}$$
или
$$\sqrt[3]{3} x = 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*3^1/3 = 3*2^(2/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*3^1/3 = 3*2^2/3

Разделим обе части ур-ния на 3^(1/3)

x = 3*2^(2/3) / (3^(1/3))

Получим ответ: x = 6^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 36$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 36$$
где
$$r = 6^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 6^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 6^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

      2/3
x1 = 6   

$$x_{1} = 6^{\frac{2}{3}}$$

        2/3        2/3 6 ___
       6      3*I*2   *\/ 3 
x2 = - ---- - --------------
        2           2       

$$x_{2} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}$$

        2/3        2/3 6 ___
       6      3*I*2   *\/ 3 
x3 = - ---- + --------------
        2           2       

$$x_{3} = - \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

          2/3        2/3 6 ___      2/3        2/3 6 ___
 2/3     6      3*I*2   *\/ 3      6      3*I*2   *\/ 3 
6    + - ---- - -------------- + - ---- + --------------
          2           2             2           2       

$$\left(6^{\frac{2}{3}} + \left(- \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

     /   2/3        2/3 6 ___\ /   2/3        2/3 6 ___\
 2/3 |  6      3*I*2   *\/ 3 | |  6      3*I*2   *\/ 3 |
6   *|- ---- - --------------|*|- ---- + --------------|
     \   2           2       / \   2           2       /

$$6^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}\right) \left(- \frac{6^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \sqrt[6]{3} i}{2}\right)$$

=

36

$$36$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$3 x^{3} - 108 = 0$$
из
$$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$$
как приведённое кубическое уравнение
$$x^{3} + \frac{b x^{2}}{a} + \frac{c x}{a} + \frac{d}{a} = 0$$
$$x^{3} - 36 = 0$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -36$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -36$$

Численный ответ

x1 = -1.65096362444731 - 2.85955287899081*i

x2 = 3.30192724889463

x3 = -1.65096362444731 + 2.85955287899081*i