y=3+y^2 (уравнение)

Найду корень уравнения: y=3+y^2

Вы ввели

         2
y = 3 + y 

$$y = y^{2} + 3$$

Подробное решение

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$y = y^{2} + 3$$
в
$$y - \left(y^{2} + 3\right) = 0$$
Это уравнение вида

a*y^2 + b*y + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 1$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (-1) * (-3) = -11

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$y_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{11} i}{2}$$
Упростить
$$y_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11} i}{2}$$
Упростить

Быстрый ответ

             ____
     1   I*\/ 11 
y1 = - - --------
     2      2    

$$y_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{11} i}{2}$$

             ____
     1   I*\/ 11 
y2 = - + --------
     2      2    

$$y_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

            ____           ____
    1   I*\/ 11    1   I*\/ 11 
0 + - - -------- + - + --------
    2      2       2      2    

$$\left(0 + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{11} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11} i}{2}\right)$$

=

1

$$1$$

произведение

  /        ____\ /        ____\
  |1   I*\/ 11 | |1   I*\/ 11 |
1*|- - --------|*|- + --------|
  \2      2    / \2      2    /

$$1 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{11} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11} i}{2}\right)$$

=

3

$$3$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$y = y^{2} + 3$$
из
$$a y^{2} + b y + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$y^{2} + \frac{b y}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$y^{2} - y + 3 = 0$$
$$p y + q + y^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 3$$
Формулы Виета
$$y_{1} + y_{2} = - p$$
$$y_{1} y_{2} = q$$
$$y_{1} + y_{2} = 1$$
$$y_{1} y_{2} = 3$$

Численный ответ

y1 = 0.5 - 1.6583123951777*i

y2 = 0.5 + 1.6583123951777*i

График