y^4-16y=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^4-16y=0

Вы ввели

 4           
y  - 16*y = 0

$$y^{4} - 16 y = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{4} - 16 y = 0$$
Очевидно:

y0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{y^{3}} = \frac{1}{16}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{y^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{16}}}$$
или
$$y = 2 \sqrt[3]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

y = 2*2^1/3

Получим ответ: y = 2*2^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = \frac{1}{16}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = \frac{1}{16}$$
где
$$r = 2 \sqrt[3]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = - \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:

y0 = 0

$$y_{1} = 2 \sqrt[3]{2}$$
$$y_{2} = - \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$
$$y_{3} = - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$

Быстрый ответ

y1 = 0

$$y_{1} = 0$$

       3 ___
y2 = 2*\/ 2 

$$y_{2} = 2 \sqrt[3]{2}$$

       3 ___     3 ___   ___
y3 = - \/ 2  - I*\/ 2 *\/ 3 

$$y_{3} = - \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$

       3 ___     3 ___   ___
y4 = - \/ 2  + I*\/ 2 *\/ 3 

$$y_{4} = - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i$$

Сумма и произведение корней

сумма

  3 ___     3 ___     3 ___   ___     3 ___     3 ___   ___
2*\/ 2  + - \/ 2  - I*\/ 2 *\/ 3  + - \/ 2  + I*\/ 2 *\/ 3 

$$\left(2 \sqrt[3]{2} + \left(- \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i\right)\right) + \left(- \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    3 ___ /  3 ___     3 ___   ___\ /  3 ___     3 ___   ___\
0*2*\/ 2 *\- \/ 2  - I*\/ 2 *\/ 3 /*\- \/ 2  + I*\/ 2 *\/ 3 /

$$0 \cdot 2 \sqrt[3]{2} \left(- \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i\right) \left(- \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \sqrt{3} i\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

y1 = 2.51984209978975

y2 = -1.25992104989487 - 2.18224727194344*i

y3 = 0.0

y4 = -1.25992104989487 + 2.18224727194344*i

График