y^4-y=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^4-y=0

Вы ввели

 4        
y  - y = 0

$$y^{4} - y = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{4} - y = 0$$
Очевидно:

y0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{y^{3}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1 y + 0\right)^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1}}$$
или
$$y = 1$$
Получим ответ: y = 1

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:

y0 = 0

$$y_{1} = 1$$
$$y_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$y_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

y1 = 0

$$y_{1} = 0$$

y2 = 1

$$y_{2} = 1$$

               ___
       1   I*\/ 3 
y3 = - - - -------
       2      2   

$$y_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
y4 = - - + -------
       2      2   

$$y_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                      ___             ___
              1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
0 + 0 + 1 + - - - ------- + - - + -------
              2      2        2      2   

$$\left(\left(\left(0 + 0\right) + 1\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

      /          ___\ /          ___\
      |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
1*0*1*|- - - -------|*|- - + -------|
      \  2      2   / \  2      2   /

$$1 \cdot 0 \cdot 1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

Численный ответ

y1 = -0.5 + 0.866025403784439*i

y2 = 0.0

y3 = 1.0

y4 = -0.5 - 0.866025403784439*i

График