y^4+y=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: y^4+y=0

Вы ввели

 4        
y  + y = 0

$$y^{4} + y = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$y^{4} + y = 0$$
Очевидно:

y0 = 0

далее,
преобразуем
$$\frac{1}{y^{3}} = -1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{y^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-1}}$$
или
$$y = - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

y = 1^2/3

Получим ответ: y = -(-1)^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = y$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = y$$
$$y = z$$

Тогда, окончательный ответ:

y0 = 0

$$y_{1} = -1$$
$$y_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$y_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

y1 = -1

$$y_{1} = -1$$

y2 = 0

$$y_{2} = 0$$

             ___
     1   I*\/ 3 
y3 = - - -------
     2      2   

$$y_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

             ___
     1   I*\/ 3 
y4 = - + -------
     2      2   

$$y_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$

Численный ответ

y1 = 0.0

y2 = 0.5 - 0.866025403784439*i

y3 = -1.0

y4 = 0.5 + 0.866025403784439*i

График